統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2015年11月29日 (日) 試験

統計数理問1 [4]

設問の要約

$S^2$ は分散 $\sigma^2$ の一致推定量であるか述べよ．

解答例

チェビチェフの不等式より，

P (| X - μ | \geq ϵ) \leq \frac{σ^{2}}{ϵ^{2}}

$\begin{equation} P(|X - \mu | \ge \epsilon) \le \frac{\sigma^2}{\epsilon^{2}} \end{equation}$

という関係が成り立つ．ここで，

\frac{(n - 1) S^{2}}{σ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

$\begin{equation} \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) \end{equation}$

なので，

E [\frac{(n - 1) S^{2}}{σ^{2}}] = n - 1

$\begin{equation} E\left[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\right] = n-1 \end{equation}$

∴ E [S^{2}] = σ^{2}

$\begin{equation} \therefore~E\left[S^2\right] = \sigma^2 \end{equation}$

V [\frac{(n - 1) S^{2}}{σ^{2}}] = 2 (n - 1)

$\begin{equation} V\left[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\right] = 2(n-1) \end{equation}$

∴ V [S^{2}] = \frac{2 σ^{4}}{n - 1}

$\begin{equation} \therefore~V\left[S^2\right] = \frac{2\sigma^4}{n-1} \end{equation}$

これらを用いて，チェビチェフの不等式に適用すると，

P (| S^{2} - E [S^{2}] | \geq ϵ) \leq \frac{V [S^{2}]}{ϵ^{2}}

$\begin{equation} P\left(\left|S^2 - E\left[S^2\right] \right| \ge \epsilon\right) \le \frac{V\left[S^2\right]}{\epsilon^{2}} \end{equation}$

P (| S^{2} - σ^{2} | \geq ϵ) \leq \frac{\frac{2 σ^{4}}{n - 1}}{ϵ^{2}} \to 0 (n \to \infty)

$\begin{equation} P\left(\left|S^2 - \sigma^2 \right| \ge \epsilon\right) \le \frac{\frac{2\sigma^4}{n-1}}{\epsilon^{2}}~\to~0~~~~(n \to \infty) \end{equation}$

よって，

S^{2}

$S^2$ は

σ^{2}

$\sigma^2$ の一致推定量である．

統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説 2015年11月29日 (日) 試験

統計数理 問1 [4]

設問の要約

解答例

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統計数理問1 [4]