統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2015年11月29日 (日) 試験

統計応用問3 [4]

設問の要約

[3] の $S$ に対して， $E[S]$ と $V[S]$ を求めよ．
$E[S] = \mu$ とおくとき， $V[S]$ を $\mu$ と $\psi$ で表せ．ただし， $\psi$ は [3] で求めたものとする．

解答例

[3] より，

ψ = \frac{1}{\sqrt{β λ}}

$\begin{equation} \psi = \frac{1}{\sqrt{\beta\lambda}} \end{equation}$

θ = - \sqrt{\frac{β}{λ}}

$\begin{equation} \theta = -\sqrt{\frac{\beta}{\lambda}} \end{equation}$

b (x) = - \frac{1}{x}

$\begin{equation} b(x)= -\frac{1}{x} \end{equation}$

また，

b^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}}

$\begin{equation} b'(x) = \frac{1}{x^2} \end{equation}$

b^{″} (x) = - \frac{2}{x^{3}}

$\begin{equation} b''(x) = -\frac{2}{x^3} \end{equation}$

であるので，[2] の結果を用いて，

E [S] = b^{'} (- \sqrt{\frac{β}{λ}}) = \frac{λ}{β}

$\begin{equation} E[S] = b'\left(-\sqrt{\frac{\beta}{\lambda}}\right) = \frac{\lambda}{\beta} \end{equation}$

V [S] = ψ b^{″} (- \sqrt{\frac{β}{λ}}) = \frac{1}{\sqrt{β λ}} \cdot (- 2) \cdot {(- \sqrt{\frac{β}{λ}})}^{- 3} = \frac{2 λ}{β^{2}}

$\begin{equation} V[S] = \psi\,b''\left(-\sqrt{\frac{\beta}{\lambda}}\right) = \frac{1}{\sqrt{\beta\lambda}} \cdot (-2) \cdot \left(-\sqrt{\frac{\beta}{\lambda}}\right)^{-3} = \frac{2\lambda}{\beta^2} \end{equation}$

ここで，

E [S] = μ = \frac{λ}{β}

$E[S] = \mu = \dfrac{\lambda}{\beta}$ とすると，

V [S] = \frac{2 λ}{β^{2}} = 2 \frac{1}{\sqrt{β λ}} {(\frac{λ}{β})}^{\frac{3}{2}} = 2 ψ μ^{\frac{2}{3}}

$\begin{equation} V[S] =\frac{2\lambda}{\beta^2} = 2 \frac{1}{\sqrt{\beta\lambda}}\left(\frac{\lambda}{\beta}\right)^{\frac{3}{2}} = 2 \psi \mu^{\frac{2}{3}} \end{equation}$

統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説 2015年11月29日 (日) 試験

統計応用 問3 [4]

設問の要約

解答例

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2015年11月29日 (日) 試験

統計応用問3 [4]