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統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2015年11月29日 (日) 試験

統計数理問1 [1]

設問の要約

$E[\bar{X}^2]$ を求めよ．

解答例

E [\bar{X}] = μ

$\begin{equation} E[\bar{X}] = \mu \end{equation}$

V [\bar{X}] = \frac{σ^{2}}{n}

$\begin{equation} V[\bar{X}] = \frac{\sigma^2}{n} \end{equation}$

これらを次の式に代入して整理すると，

V [\bar{X}] = E [{\bar{X}}^{2}] - {(E [\bar{X}])}^{2}

$\begin{equation} V[\bar{X}] = E[\bar{X}^2] - \left(E[\bar{X}]\right)^2 \end{equation}$

\frac{σ^{2}}{n} = E [{\bar{X}}^{2}] - μ^{2}

$\begin{equation} \frac{\sigma^2}{n} = E[\bar{X}^2] - \mu^2 \end{equation}$

よって，

E [{\bar{X}}^{2}] = μ^{2} + \frac{σ^{2}}{n}

$\begin{equation} E[\bar{X}^2] = \mu^2 + \frac{\sigma^2}{n} \end{equation}$

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