統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2015年11月29日 (日) 試験

統計応用 問3 [2]

設問の要約
  • 確率変数 Y のモーメント母関数は、次のようになることを示せ。

    m(t)=E[etY]=exp[1ψ{b(θ+tψ)b(θ)}]

  • 正則条件(微分と積分の順序交換) は仮定

  • b(θ) が 2階微分可能なとき,Y の平均と分散は次のように表せることを示せ.

    E[Y]=b(θ)
    V[Y]=ψb(θ)

解答例

m(t)=etyexp[yθb(θ)ψ+c(y; ψ)]dy=exp[yθb(θ)ψ+ty+c(y; ψ)]dy=exp[y(θ+tψ)b(θ)ψ+c(y; ψ)]dy=exp[y(θ+tψ)b(θ+tψ)+b(θ+tψ)b(θ)ψ+c(y; ψ)]dy=exp[y(θ+tψ)b(θ+tψ)ψ+b(θ+tψ)b(θ)ψ+c(y; ψ)]dy=exp[b(θ+tψ)b(θ)ψ]exp[y(θ+tψ)b(θ+tψ)ψ+c(y; ψ)]dy
ここで,積分部分はモデル M の一つであり,全確率は 1 となるので,
exp[y(θ+tψ)b(θ+tψ)ψ+c(y; ψ)]dy=1
よって,
m(t)=exp[b(θ+tψ)b(θ)ψ]=exp[1ψ{b(θ+tψ)b(θ)}]

m(t)=exp[1ψ{b(θ+tψ)b(θ)}]1ψb(θ+tψ)ψ=exp[1ψ{b(θ+tψ)b(θ)}]b(θ+tψ)
E[Y]=m(0)=exp[1ψ{b(θ+0)b(θ)}]b(θ+0)=b(θ)
m(t)=exp[1ψ{b(θ+tψ)b(θ)}]b(θ+tψ)b(θ+tψ)+exp[1ψ{b(θ+tψ)b(θ)}]b(θ+tψ)ψ
E[Y2]=m(0)=exp[1ψ{b(θ+0)b(θ)}]b(θ+0)b(θ+0)+exp[1ψ{b(θ+0)b(θ)}]b(θ+0)ψ={b(θ)}2+ψb(θ)
V[Y]=E[Y2](E[Y])2={b(θ)}2+ψb(θ){b(θ)}2=ψb(θ)