統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2015年11月29日 (日) 試験

統計応用 問4 [4]

設問の要約
  • 期待値 E[sin(Θμ)]=0 を示せ.

  • E[sin(Θμ)]=0 の左辺の期待値の中を展開し,E[sinΘ]S¯ に,E[cosΘ]C¯ にそれぞれ等値するモーメント法を適用したとき,μ の推定値について論ぜよ.

解答例

02πc(κ)exp[κcos(θμ)]dθ=1
の両辺を μ で微分すると,
ddμ02πc(κ)exp[κcos(θμ)]dθ=0
02πc(κ)ddμexp[κcos(θμ)]dθ=0
02πc(κ)exp[κcos(θμ)](κsin(θμ))dθ=0
κ02πsin(θμ)c(κ)exp[κcos(θμ)]dθ=0
02πsin(θμ)c(κ)exp[κcos(θμ)]dθ=0
よって,
E[sin(Θμ)]=0

また,

E[sin(Θμ)]=0
E[sinΘcosμcosΘsinμ)]=0
cosμE[sinΘ]sinμE[cosΘ]=0
ここで,E[sinΘ]S¯ に,E[cosΘ]C¯ にそれぞれ等値するモーメント法を適用したとき,μ の推定値 μ^ は,
S¯cosμ^C¯sinμ^=0
から求めることができる.これより,
Scosμ^Csinμ^=0
sinμ^cosμ^=SC
tanμ^=SC
となるので,μ の最尤推定値 μ^ は,ベクトル (C,S)T の方向を表す角度 θ¯ となる.