統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2015年11月29日 (日) 試験

統計応用問2 [3]

設問の要約

次のとき， $f(t)$ を求めよ．
$λ (t) = \frac{\frac{1}{σ} ϕ (\frac{t - μ}{σ})}{A (t)}$
$\begin{equation} \lambda(t) = \dfrac{\frac{1}{\sigma}\phi\left(\frac{t - \mu}{\sigma}\right)}{A(t)} \end{equation}$

$A (t) = 1 - Φ (\frac{t - μ}{σ})$
$\begin{equation} A(t) = 1 - \Phi\left(\frac{t - \mu}{\sigma}\right) \end{equation}$

$t \geq 0$
$\begin{equation} t \ge 0 \end{equation}$
$T$ の従う分布の名称を答えよ．

解答例

\begin{aligned} f (t) & = \frac{d}{d t} F (t) \\ = \frac{d}{d t} {1 - e^{- Λ (t)}} \\ = λ (t) e^{- Λ (t)} \end{aligned}

$\begin{align} f(t) &= \frac{d}{dt}F(t) \\ &= \frac{d}{dt}\left\{1 - e^{-\Lambda(t)}\right\} \\ &= \lambda(t)\,e^{-\Lambda(t)} \\ \end{align}$

\begin{aligned} Λ (t) & = \int_{0}^{t} λ (u) d u \\ = \int_{0}^{t} \frac{\frac{1}{σ} ϕ (\frac{x - μ}{σ})}{1 - Φ (\frac{x - μ}{σ})} d x \\ = - \int_{0}^{t} \frac{d}{d x} \log [1 - Φ (\frac{x - μ}{σ})] d x \\ = - {[\log [1 - Φ (\frac{x - μ}{σ})]]}_{0}^{t} \\ = - {\log [1 - Φ (\frac{t - μ}{σ})] - \log [1 - Φ (\frac{0 - μ}{σ})]} \\ = - {\log A (t) - \log A (0)} \\ = \log A (0) - \log A (t) \\ = \log \frac{A (0)}{A (t)} \end{aligned}

$\begin{align} \Lambda(t) &= \int_{0}^{t}\lambda(u)\,du \\ &= \int_{0}^{t}\frac{\frac{1}{\sigma}\phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)}{1 - \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)}\,dx \\ &= - \int_{0}^{t}\frac{d}{dx}\log\left[1 - \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)\right]\,dx \\ &= - \left[\log\left[1 - \Phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)\right]\right]_{0}^{t} \\ &= - \left\{\log\left[1 -\Phi\left(\frac{t - \mu}{\sigma}\right)\right] - \log\left[1 - \Phi\left(\frac{0 - \mu}{\sigma}\right)\right]\right\} \\ &= - \left\{\log A(t) - \log A(0)\right\} \\ &= \log A(0) - \log A(t) \\ &= \log \frac{A(0)}{A(t)} \end{align}$

\begin{aligned} - Λ (t) & = - \log \frac{A (0)}{A (t)} \\ = \log \frac{A (t)}{A (0)} \end{aligned}

$\begin{align} -\Lambda(t) &= -\log \frac{A(0)}{A(t)} \\ &= \log \frac{A(t)}{A(0)} \end{align}$

\begin{aligned} e^{- Λ (t)} & = e^{\log \frac{A (t)}{A (0)}} \\ = \frac{A (t)}{A (0)} \end{aligned}

$\begin{align} e^{-\Lambda(t)} &= e^{\log \frac{A(t)}{A(0)}} \\ &= \frac{A(t)}{A(0)} \end{align}$

以上より，

\begin{aligned} f (t) & = λ (t) e^{- Λ (t)} \\ = \frac{\frac{1}{σ} ϕ (\frac{t - μ}{σ})}{A (t)} \cdot \frac{A (t)}{A (0)} \\ = \frac{\frac{1}{σ} ϕ (\frac{t - μ}{σ})}{A (0)} \end{aligned}

$\begin{align} f(t) &= \lambda(t)\,e^{-\Lambda(t)} \\ &= \frac{\frac{1}{\sigma}\phi\left(\frac{t - \mu}{\sigma}\right)}{A(t)} \cdot \frac{A(t)}{A(0)} \\ &= \frac{\frac{1}{\sigma}\phi\left(\frac{t - \mu}{\sigma}\right)}{A(0)} \end{align}$

この分布は，

t = 0

$t = 0$ における下側切断正規分布である (補足1)．

補足1: 切断正規分布

切断正規分布とは，確率変数 $X$ の定義域が $a \le X \le b$ と有限な正規分布のことである．

二重に切断された正規分布

上下ともに有界なもの

単一切断正規分布

上下いづれかが有界に切断されたもの

上側切断正規分布

上側のみが有界に切断されたもの

下側切断正規分布

下側のみが有界に切断されたもの

切断正規分布の確率密度関数は次で定義される．

f (x) = \frac{\frac{1}{σ} ϕ (\frac{x - μ}{σ})}{Φ (\frac{b - μ}{σ}) - Φ (\frac{a - μ}{σ})}

$\begin{equation} f(x) = \frac{\frac{1}{\sigma}\phi\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)}{\Phi\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)} \end{equation}$

(1) 二重に切断された正規分布の場合

E [X ∣ a < X < b] = μ + \frac{ϕ (\frac{a - μ}{σ}) - ϕ (\frac{b - μ}{σ})}{Φ (\frac{b - μ}{σ}) - Φ (\frac{a - μ}{σ})} σ

$\begin{equation} E[X \mid a < X < b] = \mu + \frac{\phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right) - \phi\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right)}{\Phi\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)}\sigma \end{equation}$

V [X ∣ a < X < b] = σ^{2} {1 + \frac{\frac{a - μ}{σ} ϕ (\frac{a - μ}{σ}) - \frac{b - μ}{σ} ϕ (\frac{b - μ}{σ})}{Φ (\frac{b - μ}{σ}) - Φ (\frac{a - μ}{σ})} - {(\frac{ϕ (\frac{a - μ}{σ}) - ϕ (\frac{b - μ}{σ})}{Φ (\frac{b - μ}{σ}) - Φ (\frac{a - μ}{σ})})}^{2}}

$\begin{equation} V[X \mid a < X < b] = \sigma^2\left\{1 + \frac{\frac{a - \mu}{\sigma}\phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right) - \frac{b - \mu}{\sigma}\phi\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right)}{\Phi\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)} - \left(\frac{\phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right) - \phi\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right)}{\Phi\left(\frac{b - \mu}{\sigma}\right) - \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)}\right)^2\right\} \end{equation}$

(2) 単一切断正規分布 (上側切断正規分布) の場合

E [X ∣ X > a] = μ + \frac{ϕ (\frac{a - μ}{σ})}{1 - Φ (\frac{a - μ}{σ})} σ

$\begin{equation} E[X \mid X > a] = \mu + \frac{\phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)}{1 - \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)}\sigma \end{equation}$

V [X ∣ X > a] = σ^{2} {1 + \frac{\frac{a - μ}{σ} ϕ (\frac{a - μ}{σ})}{1 - Φ (\frac{a - μ}{σ})} - {(\frac{ϕ (\frac{a - μ}{σ})}{1 - Φ (\frac{a - μ}{σ})})}^{2}}

$\begin{equation} V[X \mid X > a] = \sigma^2\left\{1 + \frac{\frac{a - \mu}{\sigma}\phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)}{1 - \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)} - \left(\frac{\phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)}{1 - \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)}\right)^2\right\} \end{equation}$

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統計応用 問2 [3]

設問の要約

解答例

補足1: 切断正規分布

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