統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2014年11月30日 (日) 試験

統計数理問5 [3]

設問の要約

モデル (1) の適合度検定のための尤度比統計量を求めよ．

解答例

$H_0$ の下での尤度 $L_0$ は，

L_{0} = \frac{n!}{\prod_{j = 0}^{4} n_{j}!} \prod_{j = 0}^{4} {({\hat{q}}_{j} (\hat{p}))}^{n_{j}}

$\begin{equation} L_0 = \dfrac{n!}{\prod_{j=0}^{4}n_j!}\prod_{j=0}^4\left(\hat{q}_j(\hat{p})\right)^{n_j} \end{equation}$

q_{i}

$q_i$ は

p

$p$ で決まることから，パラメータは 1 つである．

$H_1$ の下での尤度 $L_1$ は， $q^{(1)}_i$ の推定値を $\hat{q}^{(1)}_i = \dfrac{n_j}{n}$ とすると，

L_{1} = \frac{n!}{\prod_{j = 0}^{4} n_{j}!} \prod_{j = 0}^{4} {(\frac{n_{j}}{n})}^{n_{j}}

$\begin{equation} L_1 = \dfrac{n!}{\prod_{j=0}^{4}n_j!}\prod_{j=0}^4\left(\frac{n_j}{n}\right)^{n_j} \end{equation}$

パラメータは

q_{0}, q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4}

$q_0, q_1, q_2, q_3, q_4$ の 5 つあるが，

q_{0} + q_{1} + q_{2} + q_{3} + q_{4} = 1

$q_0 + q_1 + q_2 + q_3 + q_4 = 1$ という制約があるので，4 つとなる．

以上より，尤度比 $\varLambda$ は，

Λ = \frac{L_{0}}{L_{1}} = \frac{\prod_{j = 0}^{4} ({\hat{q}}_{j})^{n_{j}}}{\prod_{j = 0}^{4} (n_{j} / n)^{n_{j}}} = \prod_{j = 0}^{4} {(\frac{n {\hat{q}}_{j}}{n_{j}})}^{n_{j}}

$\begin{equation} \varLambda = \frac{L_0}{L_1} = \frac{\prod_{j=0}^4(\hat{q}_j)^{n_j}}{\prod_{j=0}^4(n_j/n)^{n_j}} = \prod_{j=0}^4 \left(\frac{n\hat{q}_j}{n_j}\right)^{n_j} \end{equation}$

このときの自由度は

H_{0}

$H_0$ と

H_{1}

$H_1$ の自由度の差であるから，

4 - 1 = 3

$4 - 1 = 3$ となる．対数尤度比統計量は，

\begin{aligned} χ_{(2)}^{2} & = - 2 \log Λ \\ = - 2 \log \prod_{j = 0}^{4} {(\frac{n {\hat{q}}_{j}}{n_{j}})}^{n_{j}} \\ = - 2 \sum_{j = 0}^{4} \log {(\frac{n {\hat{q}}_{j}}{n_{j}})}^{n_{j}} \\ = - 2 \sum_{j = 0}^{4} n_{j} \log \frac{n {\hat{q}}_{j}}{n_{j}} \\ = - 2 \sum_{j = 0}^{4} n_{j} \log {(\frac{n_{j}}{n {\hat{q}}_{j}})}^{- 1} \\ = 2 \sum_{j = 0}^{4} n_{j} \log \frac{n_{j}}{n {\hat{q}}_{j}} \end{aligned}

$\begin{align} \chi^2_{(2)} &= -2 \log \varLambda \\ &= - 2\log\prod_{j=0}^4 \left(\frac{n\hat{q}_j}{n_j}\right)^{n_j} \\ &= - 2\sum_{j=0}^4 \log\left(\frac{n\hat{q}_j}{n_j}\right)^{n_j} \\ &= - 2\sum_{j=0}^4 n_j \log\frac{n\hat{q}_j}{n_j} \\ &= - 2\sum_{j=0}^4 n_j \log\left(\frac{n_j}{n\hat{q}_j}\right)^{-1} \\ &= 2\sum_{j=0}^4 n_j \log\frac{n_j}{n\hat{q}_j} \end{align}$

補足1: 適合度カイ二乗統計量と尤度比統計量の関係

\begin{aligned} 2 \sum_{j = 0}^{4} n_{j} \log \frac{n_{j}}{n {\hat{q}}_{j}} \\ = 2 \sum_{j = 0}^{4} n_{j} \log (1 + \frac{n_{j}}{n {\hat{q}}_{j}} - 1) \\ = 2 \sum_{j = 0}^{4} n_{j} \log (1 + \frac{n_{j} - n {\hat{q}}_{j}}{n {\hat{q}}_{j}}) \\ = 2 \sum_{j = 0}^{4} n_{j} {\frac{1}{1!} {(\frac{n_{j} - n {\hat{q}}_{j}}{n {\hat{q}}_{j}})}^{1} - \frac{1}{2!} {(\frac{n_{j} - n {\hat{q}}_{j}}{n {\hat{q}}_{j}})}^{2} + \dots} \\ = 2 \sum_{j = 0}^{4} n_{j} (\frac{n_{j} - n {\hat{q}}_{j}}{n {\hat{q}}_{j}} - \frac{(n_{j} - n {\hat{q}}_{j})^{2}}{2 (n {\hat{q}}_{j})^{2}} + \dots) \\ = 2 \sum_{j = 0}^{4} (n {\hat{q}}_{j} + n_{j} - n {\hat{q}}_{j}) (\frac{n_{j} - n {\hat{q}}_{j}}{n {\hat{q}}_{j}} - \frac{(n_{j} - n {\hat{q}}_{j})^{2}}{2 (n {\hat{q}}_{j})^{2}} + \dots) \\ = 2 \sum_{j = 0}^{4} {n {\hat{q}}_{j} (\frac{n_{j} - n {\hat{q}}_{j}}{n {\hat{q}}_{j}} - \frac{(n_{j} - n {\hat{q}}_{j})^{2}}{2 (n {\hat{q}}_{j})^{2}} + \dots) \\ + (n_{j} - n {\hat{q}}_{j}) (\frac{n_{j} - n {\hat{q}}_{j}}{n {\hat{q}}_{j}} - \frac{(n_{j} - n {\hat{q}}_{j})^{2}}{2 (n {\hat{q}}_{j})^{2}} + \dots)} \\ = 2 \sum_{j = 0}^{4} {((n_{j} - n {\hat{q}}_{j}) - \frac{(n_{j} - n {\hat{q}}_{j})^{2}}{2 n {\hat{q}}_{j}} + \dots) + (\frac{(n_{j} - n {\hat{q}}_{j})^{2}}{n {\hat{q}}_{j}} - \frac{(n_{j} - n {\hat{q}}_{j})^{3}}{2 (n {\hat{q}}_{j})^{2}} + \dots)} \\ \approx 2 \sum_{j = 0}^{4} {(n_{j} - n {\hat{q}}_{j}) - \frac{(n_{j} - n {\hat{q}}_{j})^{2}}{2 n {\hat{q}}_{j}} + \frac{(n_{j} - n {\hat{q}}_{j})^{2}}{n {\hat{q}}_{j}}} \dots \dots 3次以降は無限小として無視 \\ = 2 \sum_{j = 0}^{4} {(n_{j} - n {\hat{q}}_{j}) + \frac{(n_{j} - n {\hat{q}}_{j})^{2}}{2 n {\hat{q}}_{j}}} \\ = 2 \sum_{j = 0}^{4} n_{j} - 2 n \sum_{j = 0}^{4} {\hat{q}}_{j} + \sum_{j = 0}^{4} \frac{(n_{j} - n {\hat{q}}_{j})^{2}}{n {\hat{q}}_{j}} \\ = 2 n - 2 n + \sum_{j = 0}^{4} \frac{(n_{j} - n {\hat{q}}_{j})^{2}}{n {\hat{q}}_{j}} \\ = \sum_{j = 0}^{4} \frac{(n_{j} - n {\hat{q}}_{j})^{2}}{n {\hat{q}}_{j}} \end{aligned}

$\begin{align} & 2\sum_{j=0}^4 n_j \log\frac{n_j}{n\hat{q}_j} \\ &= 2\sum_{j=0}^4 n_j \log\left(1 + \frac{n_j}{n\hat{q}_j} - 1\right) \\ &= 2\sum_{j=0}^4 n_j \log\left(1 + \frac{n_j - n\hat{q}_j}{n\hat{q}_j}\right) \\ &= 2\sum_{j=0}^4 n_j \left\{\frac{1}{1!}\left(\frac{n_j - n\hat{q}_j}{n\hat{q}_j}\right)^1 - \frac{1}{2!}\left(\frac{n_j - n\hat{q}_j}{n\hat{q}_j}\right)^2 + \cdots \right\} \\ &= 2\sum_{j=0}^4 n_j \left(\frac{n_j - n\hat{q}_j}{n\hat{q}_j} - \frac{(n_j - n\hat{q}_j)^2}{2(n\hat{q}_j)^2} + \cdots \right) \\ &= 2\sum_{j=0}^4 (n\hat{q}_j + n_j - n\hat{q}_j)\left(\frac{n_j - n\hat{q}_j}{n\hat{q}_j} - \frac{(n_j - n\hat{q}_j)^2}{2(n\hat{q}_j)^2} + \cdots \right) \\ &= 2\sum_{j=0}^4 \left\{n\hat{q}_j \left(\frac{n_j - n\hat{q}_j}{n\hat{q}_j} - \frac{(n_j - n\hat{q}_j)^2}{2(n\hat{q}_j)^2} + \cdots \right) \right. \\ &\quad\quad\quad\quad + \left.(n_j - n\hat{q}_j)\left(\frac{n_j - n\hat{q}_j}{n\hat{q}_j} - \frac{(n_j - n\hat{q}_j)^2}{2(n\hat{q}_j)^2} + \cdots \right)\right\} \\ &= 2\sum_{j=0}^4 \left\{\left((n_j - n\hat{q}_j) - \frac{(n_j - n\hat{q}_j)^2}{2n\hat{q}_j} + \cdots \right) +\left(\frac{(n_j - n\hat{q}_j)^2}{n\hat{q}_j} - \frac{(n_j - n\hat{q}_j)^3}{2(n\hat{q}_j)^2} + \cdots \right)\right\} \\ &\approx 2\sum_{j=0}^4 \left\{(n_j - n\hat{q}_j) - \frac{(n_j - n\hat{q}_j)^2}{2n\hat{q}_j} + \frac{(n_j - n\hat{q}_j)^2}{n\hat{q}_j}\right\}~~\cdots\cdots~~\text{3次以降は無限小として無視} \\ &= 2\sum_{j=0}^4 \left\{(n_j - n\hat{q}_j) + \frac{(n_j - n\hat{q}_j)^2}{2n\hat{q}_j}\right\} \\ &= 2\sum_{j=0}^4 n_j - 2n\sum_{j=0}^4\hat{q}_j + \sum_{j=0}^4\frac{(n_j - n\hat{q}_j)^2}{n\hat{q}_j} \\ &= 2n - 2n + \sum_{j=0}^4\frac{(n_j - n\hat{q}_j)^2}{n\hat{q}_j} \\ &= \sum_{j=0}^4\frac{(n_j - n\hat{q}_j)^2}{n\hat{q}_j} \\ \end{align}$

統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説 2014年11月30日 (日) 試験

統計数理 問5 [3]

設問の要約

解答例

補足1: 適合度カイ二乗統計量と尤度比統計量の関係

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