統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2014年11月30日 (日) 試験

統計応用問2 [1]

設問の要約

$f(x) = \alpha + \beta x$
2回の実験で $\beta$ の推定量の分散を最小とするのは $x = -1$ と $x = 1$ とした場合であることを示せ．

解答例

\begin{aligned} V [\hat{β}] & = \frac{σ^{2}}{S_{x x}} \\ = \frac{σ^{2}}{\sum_{i = 1}^{2} (x_{i} - \bar{x})^{2}} \\ = \frac{σ^{2}}{(x_{1} - \bar{x})^{2} + (x_{2} - \bar{x})^{2}} \\ = \frac{σ^{2}}{{(x_{1} - \frac{x_{1} + x_{2}}{2})}^{2} + {(x_{2} - \frac{x_{1} + x_{2}}{2})}^{2}} \\ = \frac{4 σ^{2}}{{2 x_{1} - (x_{1} + x_{2})}^{2} + {2 x_{2} - (x_{1} + x_{2})}^{2}} \\ = \frac{4 σ^{2}}{(x_{1} - x_{2})^{2} + (x_{2} - x_{1})^{2}} \\ = \frac{4 σ^{2}}{(x_{1} - x_{2})^{2} + (x_{1} - x_{2})^{2}} \\ = \frac{2 σ^{2}}{(x_{1} - x_{2})^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} V[\hat{\beta}] &= \dfrac{\sigma^2}{S_{xx}} \\ &= \dfrac{\sigma^2}{\sum_{i=1}^{2}(x_i - \bar{x})^2} \\ &= \dfrac{\sigma^2}{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2} \\ &= \dfrac{\sigma^2}{\left(x_1 - \dfrac{x_1 + x_2}{2}\right)^2 + \left(x_2 - \dfrac{x_1 + x_2}{2}\right)^2} \\ &= \dfrac{4\sigma^2}{\left\{2x_1 - (x_1 + x_2)\right\}^2 + \left\{2x_2 - (x_1 + x_2)\right\}^2} \\ &= \dfrac{4\sigma^2}{(x_1 - x_2)^2 + (x_2 - x_1)^2} \\ &= \dfrac{4\sigma^2}{(x_1 - x_2)^2 + (x_1 - x_2)^2} \\ &= \dfrac{2\sigma^2}{(x_1 - x_2)^2} \\ \end{align}$

よって，

x_{1} = 1

$x_1 = 1$ と

x_{2} = - 1

$x_2 = -1$ のとき，

V [\hat{β}]

$V[\hat{\beta}]$ は最小となる．

統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説 2014年11月30日 (日) 試験

統計応用 問2 [1]

設問の要約

解答例

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