統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2014年11月30日 (日) 試験

統計応用 問1 [2]

設問の要約
  • XPo(λX)

  • YPo(λY)

  • XY は互いに独立

  • T=X+Y の分布はパラメータ λX+λY のポアソン分布となることを示せ.

  • T=t が与えられたときの X の条件付き分布を求めよ.

解答例

MT(t)=E[etT]=E[et(X+Y)]=E[etX]E[etY]=eλX(et1)eλY(et1)=e(λX+λY)(et1)
よって,
TPo(λX+λY)
P(X=xT=t)=P(X=x,T=t)P(T=t)=P(X=x,X+Y=t)P(X+Y=t)=P(X=x,Y=tx)P(X+Y=t)=P(X=x)P(Y=tx)P(X+Y=t)=λXxx!eλXλYtx(tx)!eλY(λX+λY)tt!e(λX+λY)=t!x!(tx)!λXxλYtx1(λX+λY)t=t!x!(tx)!λXxλYtx1(λX+λY)x1(λX+λY)tx=t!x!(tx)!(λXλX+λY)x(λYλX+λY)tx=t!x!(tx)!(λXλX+λY)x(λX+λYλXλX+λY)tx=t!x!(tx)!(λXλX+λY)x(1λXλX+λY)tx
よって,二項分布 Bin(t, λXλX+λY) となる.