統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2014年11月30日 (日) 試験

統計数理問3 [2]

設問の要約

上問 [1] の 2 つの場合について， $\beta$ の信頼係数 $1-\alpha$ の信頼区間を求めよ．

解答例

(1) $\sigma_X,~\sigma_Y$ が既知の場合

\frac{\bar{Y} - β \bar{X}}{\sqrt{\frac{1}{n} ({σ_{Y}}^{2} + β^{2} {σ_{X}}^{2})}} = \pm z (α / 2)

$\begin{equation} \frac{\bar{Y} - {\beta}\bar{X}}{\ds\sqrt{\frac{1}{n}\left({\sigma_Y}^2 + {\beta}^{2}{\sigma_X}^2\right)}} = \pm z(\alpha/2) \end{equation}$

\bar{Y} - β \bar{X} = \pm z (α / 2) \sqrt{\frac{1}{n} ({σ_{Y}}^{2} + β^{2} {σ_{X}}^{2})}

$\begin{equation} \bar{Y} - {\beta}\bar{X} = \pm z(\alpha/2)\sqrt{\frac{1}{n}\left({\sigma_Y}^2 + {\beta}^{2}{\sigma_X}^2\right)} \end{equation}$

(\bar{Y} - β \bar{X})^{2} = \frac{1}{n} z (α / 2)^{2} ({σ_{Y}}^{2} + β^{2} {σ_{X}}^{2})

$\begin{equation} (\bar{Y} - {\beta}\bar{X})^2 = \frac{1}{n}z(\alpha/2)^2\left({\sigma_Y}^2 + {\beta}^{2}{\sigma_X}^2\right) \end{equation}$

n (\bar{Y} - β \bar{X})^{2} = z (α / 2)^{2} ({σ_{Y}}^{2} + β^{2} {σ_{X}}^{2})

$\begin{equation} n(\bar{Y} - {\beta}\bar{X})^2 = z(\alpha/2)^2\left({\sigma_Y}^2 + {\beta}^{2}{\sigma_X}^2\right) \end{equation}$

n {\bar{Y}}^{2} - 2 n β \bar{X} \bar{Y} + n β^{2} {\bar{X}}^{2} = z (α / 2)^{2} {σ_{Y}}^{2} + z (α / 2)^{2} β^{2} {σ_{X}}^{2}

$\begin{equation} n\bar{Y}^2 - 2n{\beta}\bar{X}\bar{Y} + n{\beta}^2\bar{X}^2 = z(\alpha/2)^2{\sigma_Y}^2 + z(\alpha/2)^2{\beta}^{2}{\sigma_X}^2 \end{equation}$

(n {\bar{X}}^{2} - z (α / 2)^{2} {σ_{X}}^{2}) β^{2} - 2 n \bar{X} \bar{Y} β + n {\bar{Y}}^{2} - z (α / 2)^{2} {σ_{Y}}^{2} = 0

$\begin{equation} (n\bar{X}^2 - z(\alpha/2)^2{\sigma_X}^2){\beta}^2 - 2n\bar{X}\bar{Y}{\beta} + n\bar{Y}^2 - z(\alpha/2)^2{\sigma_Y}^2 = 0 \end{equation}$

n

$n$ が十分大きいとき，

β^{2}

$\beta^2$ の係数

(n {\bar{X}}^{2} - z (α / 2)^{2} {σ_{X}}^{2})

$(n\bar{X}^2 - z(\alpha/2)^2{\sigma_X}^2)$ は，正である確率が1に近いことから，

β = \frac{- n \bar{X} \bar{Y} \pm \sqrt{(n \bar{X} \bar{Y})^{2} - (n {\bar{X}}^{2} - z (α / 2)^{2} {σ_{X}}^{2}) (n {\bar{Y}}^{2} - z (α / 2)^{2} {σ_{Y}}^{2})}}{n {\bar{X}}^{2} - z (α / 2)^{2} {σ_{X}}^{2}}

$\begin{equation} \beta = \frac{\ds -n\bar{X}\bar{Y} \pm \sqrt{(n\bar{X}\bar{Y})^2 - (n\bar{X}^2 - z(\alpha/2)^2{\sigma_X}^2)(n\bar{Y}^2 - z(\alpha/2)^2{\sigma_Y}^2)}}{\ds n\bar{X}^2 - z(\alpha/2)^2{\sigma_X}^2} \end{equation}$

(2) $\sigma_X,~\sigma_Y$ が未知の場合

${\sigma_X}^2$ と ${\sigma_Y}^2$ を推定量 ${s_X}^2$ と ${s_Y}^2$ に置き換え， $z(\alpha/2)$ を $t_{n-1}(\alpha/2)$ に置き換える．

β = \frac{- n \bar{X} \bar{Y} \pm \sqrt{(n \bar{X} \bar{Y})^{2} - (n {\bar{X}}^{2} - t_{n - 1} (α / 2)^{2} {s_{X}}^{2}) (n {\bar{Y}}^{2} - t_{n - 1} (α / 2)^{2} {s_{Y}}^{2})}}{n {\bar{X}}^{2} - t_{n - 1} (α / 2)^{2} {s_{X}}^{2}}

$\begin{equation} \beta = \frac{\ds -n\bar{X}\bar{Y} \pm \sqrt{(n\bar{X}\bar{Y})^2 - (n\bar{X}^2 - t_{n-1}(\alpha/2)^2{s_X}^2)(n\bar{Y}^2 - t_{n-1}(\alpha/2)^2{s_Y}^2)}}{\ds n\bar{X}^2 - t_{n-1}(\alpha/2)^2{s_X}^2} \end{equation}$

統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説 2014年11月30日 (日) 試験

統計数理 問3 [2]

設問の要約

解答例

統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2014年11月30日 (日) 試験

統計数理問3 [2]