統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2014年11月30日 (日) 試験

$$\begin{align} M_X(t) &= E[e^{tX}] \\ &= \sum_{x=0}^{\infty}e^{tx}\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} \\ &= e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(e^t\lambda)^x}{x!} \\ &= e^{-\lambda}e^{e^t\lambda} \\ &= e^{\lambda(e^t-1)} \end{align}$$

$$\begin{align} M_X'(t) &= \frac{d}{dt}e^{\lambda(e^t-1)} \\ &= e^{\lambda(e^t-1)}\lambda\,e^t \end{align}$$

$$\begin{align} M_X'(0) &= e^{\lambda(e^0-1)}\lambda\,e^0 \\ &= \lambda \end{align}$$

$$\begin{align} M_X''(t) &= \frac{d}{dt}e^{\lambda(e^t-1)}\lambda\,e^t \\ &= e^{\lambda(e^t-1)}\lambda\,e^t\lambda\,e^t + e^{\lambda(e^t-1)}\lambda\,e^t \end{align}$$

$$\begin{align} M_X''(0) &= e^{\lambda(e^0-1)}\lambda\,e^0\lambda\,e^0 + e^{\lambda(e^0-1)}\lambda\,e^0 \\ &= \lambda^2 + \lambda \end{align}$$

$$\begin{align} E[X] &= M_X'(0) \\ &= \lambda \end{align}$$

$$\begin{align} V[X] &= M_X''(0) - M_X'(0)^2 \\ &= \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 \\ &= \lambda \end{align}$$

$$\begin{equation} \text{母平均} = \text{母分散} \end{equation}$$