統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2014年11月30日 (日) 試験

統計数理 問2 [1]

設問の要約
  • モーメント母関数は次のようになることを示せ.

    MX(t)=(1t)m    (t<1)

解答例

1Γ(m)0xm1exdx=1
より,
0xm1exdx=Γ(m)
ここで,x=αu と変数変換すると,
dxdu=α
であることから,
0(αu)m1eαuαdu=Γ(m)
よって,
0um1eαudu=Γ(m)αm
MX(t)=E[etX]=0etx1Γ(m)xm1exdx=1Γ(m)0xm1e(1t)xdx=1Γ(m)Γ(m)(1t)m=(1t)m