統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2014年11月30日 (日) 試験

統計数理問2 [4]

設問の要点

$(Y_1, \ldots, Y_n)$ の同時分布は， $U_1, \ldots, U_n \in U(0, 1)$ の順序統計量 $U_{(1)} < \ldots < U_{(n)}$ の同時分布に等しいことを示せ．

解答例

$(y_1, \ldots, y)$ の同時確率密度関数は，

\begin{aligned} f_{Y_{1}, \dots, Y_{n}} (y_{1}, \dots, y_{n}) & = \int_{0}^{\infty} f_{Y_{1}, \dots, Y_{n}, T} (y_{1}, \dots, y_{n}, t) d t \\ = \int_{0}^{\infty} e^{- t} t^{n} d t \\ = Γ (n + 1) \\ = n! \end{aligned}

$\begin{align} f_{Y_1, \ldots, Y_n}(y_1, \ldots, y_n) &= \int_{0}^{\infty} f_{Y_1, \ldots, Y_n, T}(y_1, \ldots, y_n, t)dt \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,t^n dt \\ &= \varGamma(n+1) \\ &= n! \end{align}$

ところで，

U \sim U (0, 1)

$U \sim U(0, 1)$ の確率密度関数は，

f_{U} (u) = {\begin{cases} 1 & (0 < u < 1) \\ 0 & (u \leq 0, 1 \leq u) \end{cases}

$\begin{equation} f_{U}(u) = \begin{cases} 1 & (0 < u < 1) \\ 0 & (u \le 0, 1 \le u) \end{cases} \end{equation}$

(U_{(1)}, \dots, U_{(n)})

$(U_{(1)}, \ldots, U_{(n)})$ の同時確率密度関数は，

\begin{aligned} f_{U_{(1)}, \dots, U_{(n)}} (u_{1}, \dots, u_{n}) & = n! f_{U} (u_{1}) \dots f_{U} (u_{n}) \\ = n! \end{aligned}

$\begin{align} f_{U_{(1)}, \ldots, U_{(n)}}(u_1, \ldots, u_n) &= n!\,f_U(u_1)\cdots\,f_U(u_n) \\ &= n! \end{align}$

よって，

(y_{1}, \dots, y_{n})

$(y_1, \ldots, y_n)$ と

(U_{(1)}, \dots, U_{(n)})

$(U_{(1)}, \ldots, U_{(n)})$ の同時確率密度関数は等しい．

補足1: 順序統計量の同時確率密度関数

$X_1,\ldots,X_n$ を分布 $F_X(x)$ と確率密度関数 $f_X(x)$ を持つ連続型分布からの標本とする． $X_{(1)},\ldots,X_{(n)}$ を順序統計量としたとき， $(X_{(1)}, \ldots, X_{(n)})$ の同時確率密度関数は次のようになる．

f_{X_{(1)}, \dots, X_{(n)}} (x_{1}, \dots, x_{n}) = n! f_{X} (x_{1}) \dots f_{X} (x_{n})

$\begin{equation} f_{X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}}(x_1, \ldots, x_n) = n!\,f_X(x_1)\cdots\,f_X(x_n) \end{equation}$

統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説 2014年11月30日 (日) 試験

統計数理 問2 [4]

設問の要点

解答例

補足1: 順序統計量の同時確率密度関数

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