統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2014年11月30日 (日) 試験

$$\begin{equation} (\hat{\alpha}, \hat{\beta}, \hat{\gamma})' \sim N\left((\alpha, \beta, \gamma)',~\sigma^2(X'X)^{-1}\right) \end{equation}$$

$$\begin{align} X = \begin{pmatrix} 1 & x_1 & {x_1}^2 \\ 1 & x_2 & {x_2}^2 \\ 1 & x_3 & {x_3}^2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & x_3 & {x_3}^2 \\ \end{pmatrix} \end{align}$$

$$\begin{equation} \text{行列 $A$ が正則}~~\Longrightarrow~~\left|A^{-1}\right| = \frac{1}{|A|} \end{equation}$$

$$\begin{align} \left|\sigma^2(X'X)^{-1}\right| &= (\sigma^2)^p \left|(X'X)^{-1}\right| \\ &= \frac{(\sigma^2)^p}{|X'X|} \\ &= \frac{(\sigma^2)^p}{|X'||X|} \\ &= \frac{(\sigma^2)^p}{|X||X|} \\ &= \frac{(\sigma^2)^p}{|X|^2} \end{align}$$

$$\begin{align} |X| &= \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & x_3 & {x_3}^2 \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x_3 & {x_3}^2 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & {x_3}^2 \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & x_3 \\ \end{vmatrix} \\ &= ({x_3}^2 - x_3) + ({x_3}^2 - 1) + (x_3 - 1) \\ &= 2({x_3}^2 - 1) \\ \end{align}$$