統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2017年06月18日 (日) 試験

設問の要約

• 原稿の1ページ目から最初の20個の誤植について，発見されたページ数を記録しグラフを作成

  ※グラフは省略

• 横軸 $t_n$ : ページ数

• 縦軸 $n$ : 発見した誤植数

• $N_t$ : 誤植数

  $$\begin{equation} N_t \sim Po(\lambda) \end{equation}$$

• $\{N_t\}_{t \ge 0}$ : 強度 $\lambda$ のポアソン過程

  1. 確率 1 で $N_0 = 0$

  2. 任意の

     $$\begin{equation} 0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_{n-1} < t_n \end{equation}$$
     に対し，
     $$\begin{equation} N_0,~ N_{t_1} - N_{t_0},~ N_{t_2} - N_{t_1},~ \cdots,~ N_{t_{n}} - N_{t_{n-1}} \end{equation}$$
     は互いに独立

  3. 任意の $0 \le s \le t$ に対し，

     $$\begin{equation} N_t − N_s \sim Po(\lambda(t−s)) \end{equation}$$

  4. 確率1でサンプルパス $t \mapsto N_t$ は非負の整数値をとる階段関数

• 誤植数 $N_t$ の確率過程は，(1), (2), (4) を満たしている．

• 条件 (3) の是非について論ぜよ．

• 条件 (3) も正しいと仮定できるとき，誤植数 $N_t$ の従うポアソン過程の強度が $\lambda = 2.0$ と推定できる理由を説明せよ．

• $t$ ページまでの誤植数を特定したときの $\lambda$ の最尤推定量 $\hat{\lambda}$ は次で与えられる．

  $$\begin{equation} \hat{\lambda} = \frac{N_t}{t} \end{equation}$$

解答例

$s = 0$ とすると，

となるので，グラフの破線と一致することから条件 (3) は妥当と考 えられる．このとき，$\lambda$ の最尤推定値は となるので，ポアソン過程の強度は，$\lambda = 2.0$ と推定できる．