統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2017年06月18日 (日) 試験

問題の要約

• $Y_t :$民間消費 (単位: 100万ドル)

• $X_t$ : 国民可処分所得 (単位: 100万ドル)

• 単回帰モデル

  $$\begin{equation} Y_t = \underbrace{87.509}_{(18.892)} + \underbrace{0.548X_t}_{(0.004)} \end{equation}$$
  $$\begin{equation} t = 1, \ldots,49 \end{equation}$$
  $$\begin{equation} R_2 = 0.995 \end{equation}$$
  ( ) 内の数値は標準誤差．

• 残差系列 $e_t$ の標本分散 : 14497.5

• 1次の標本自己共分散 : 10299.8

• 下図はこの残差系列に対する偏自己相関のプロット．

  ※図は省略

  AR モデルでモデリングするならば AR(1) が適切であると分かる．

1. 次の3つの図(ア)，(イ)，(ウ)の中のひとつが上の回帰式に対する残差系列のコレログラムである．

   ※図は書略

   回帰式の残差系列のダービン・ワトソン統計量 (DW) とコレログラムの組み合わせを ① 〜 ⑤ の中らか選べ．

   ※選択肢は省略

2. $\hat{ρ}$ : 残差系列の 1 次の標本自己相関係数

   $Y_t^{∗} = Y_t −\hat{ρ} Y_{t-1}$

   $X_t^{∗} = X_t −\hat{ρ} X_{t−1}$

   $t = 2, \ldots, 49$

3. 単回帰モデル

   $$\begin{equation} Y_t^{∗} = \beta_0 + \beta_1 X_t^{∗} + v_t \end{equation}$$
   $\beta_0$ と $\beta_1$ を最小二乗法により推定．

解答

※DWや回帰係数の値を求める問題となっていますが，当サイトでは，それらの値を直接求めることはできないと判断しています．近似値を求めてその値に近いものを選択肢から選ぶということがこの問題の意図と解釈し，以下の解答例を作成しています．

1. 答 : ②

   問題文より，

   $$\begin{equation} V[e_t] = 14497.5 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} Cov[e_t,~e_{t-1}] = 10299.8 \end{equation}$$
   であるので，
   $$\begin{equation} \hat{\rho} = \frac{Cov[e_t,~e_{t-1}]}{\sqrt{V[e_t]}\sqrt{V[e_{t-1}]}} = \frac{10299.8}{\sqrt{14497.5}\sqrt{14497.5}} \approx 0.7105 \end{equation}$$
   $n$ が十分大きいとき，次の式のように，DW は $\hat{\rho}$ で近似することができるので，
   $$\begin{equation} DW = \frac{\sum_{t=2}^{T}(e_{t} - e_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^{T} e_{t}^2} \approx 2(1 - \hat{\rho}) = 0.579 \end{equation}$$

   よって，DWは2より小さい値となり，正の自己相関があると判定することができる． DW の近似値を求めたので，選択肢からは 0.579 に近い値を選択すればよく，DW = 0.61 と推定できる．

   コレログラムとは，横軸を時差 $h$，縦軸に系列相関係数としたグラフである． 隣り合う系列は正の自己相関があることから，コレログラムでは，隣り合う系列は滑らかにつながるような感じになる．よって，コレログラムは (イ) と判断できる．

2. 答 : ④

   この問は，コクラン・オーカット法についての問題である． コクラン・オーカット法は1階の系列相関のあった場合の対応方法の1つである．

   それぞれの単回帰モデルを

   $$\begin{equation} Y_t = \alpha_0 + \alpha_1 X_t + e_t~~(t = 1, \ldots, n)~~~~\cdots\cdots~(1) \end{equation}$$
   $$\begin{equation} Y_t^* = \beta_0 + \beta_1 X_t^* + v_t~~(t = 2, \ldots, n)~~~~\cdots\cdots~(2) \end{equation}$$
   とおく． $(1)$ を $t-1$ について書いてみると，
   $$\begin{equation} Y_{t-1} = \alpha_0 + \alpha_1 X_{t-1} + e_{t-1}~~(t = 2, \ldots, n) \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \Longleftrightarrow~~\rho Y_{t-1} = \rho(\alpha_0 + \alpha_1 X_{t-1} + e_{t-1}) \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \Longleftrightarrow~~\rho Y_{t-1} = \rho\alpha_0 + \alpha_1\rho X_{t-1} + \rho e_{t-1}~~~~\cdots\cdots~(3) \end{equation}$$
   $(1) - (3)$ をすると，
   $$\begin{equation} Y_t - \rho Y_{t-1}= \alpha_0 + \alpha_1 X_t + e_t - \rho\alpha_0 - \alpha_1\rho X_{t-1} - \rho e_ {t-1} \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \Longleftrightarrow~~Y_t - \rho Y_{t-1}= \alpha_0 - \rho\alpha_0 + \alpha_1 X_t - \alpha_1\rho X_{t-1} + e_t - \rho e_{t-1} \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \Longleftrightarrow~~Y_t - \rho Y_{t-1} = \alpha_0(1 - \rho) + \alpha_1 (X_t - \rho X_{t-1}) + (e_t - \rho e_{t-1}) \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \Longleftrightarrow~~Y_t^* = \alpha_0(1 - \rho) + \alpha_1 X_t^* + (e_t - \rho e_{t-1}) \end{equation}$$
   これと，$(2)$ を比較すると，
   $$\begin{equation} \beta_0 = \alpha_0(1 - \rho) \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \beta_1 = \alpha_1 \end{equation}$$
   $\beta_0$ と $\beta_1$ の推定値を $\hat{\beta_0},~\hat{\beta}_1$ とそれぞれおくと， 次の式で近似値を求めることができる．
   $$\begin{equation} \hat{\beta}_0 = \hat{\alpha}_0(1 - \hat{\rho}) \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \hat{\beta}_1 = \hat{\alpha}_1 \end{equation}$$
   ここで，
   $$\begin{equation} \hat{\alpha}_0 = 87.509 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \hat{\alpha}_1 = 0.548 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \hat{\rho} \approx 0.7105 \end{equation}$$
   であるので，
   $$\begin{equation} \hat{\beta}_0 = 87.509 \times (1 - 0.7105) \approx 25.33 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \hat{\beta}_1 = 0.548 \end{equation}$$
   これらは，近似値であるので，選択肢からはこれらに近い値のものを選ぶ．