統計検定準1級過去問解答/解答例と解説
2017年06月18日 (日) 試験

論述問題問1 [3]

設問の要約

母集団の分布に 4変量正規分布 $N_4(\mu,~\Sigma)$ を仮定する．
標本分散共分散行列の第 1固有値 $\ell_1$ について， $\dfrac{7\ell_1}{\lambda_1}$ が近似的に自由度7の $\chi^2$ 分布に従うことが知られている．
ただし， $\lambda_i~(i=1, \ldots,4)$ は分散共分散行列 $\Sigma$ の第 $i$ 固有値を表す．
この近似を利用して $\lambda_1$ の 95%信頼区間を構成せよ．

解答例

仮定より，

\frac{7 ℓ_{1}}{λ_{1}} \sim χ^{2} (7)

$\begin{equation} \dfrac{7\ell_1}{\lambda_1} \sim \chi^2(7) \end{equation}$

ここで，

α = 0.05

$\alpha = 0.05$ とすると，

1 - α

$1 - \alpha$ の信頼区間は，

χ_{1 - \frac{α}{2}}^{2} (7) \leq \frac{7 ℓ_{1}}{λ_{1}} \leq χ_{\frac{α}{2}}^{2} (7)

$\begin{equation} \chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(7) \le \dfrac{7\ell_1}{\lambda_1} \le \chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(7) \end{equation}$

⟺ \frac{1}{χ_{\frac{α}{2}}^{2} (7)} \leq \frac{λ_{1}}{7 ℓ_{1}} \leq \frac{1}{χ_{1 - \frac{α}{2}}^{2} (7)}

$\begin{equation} \Longleftrightarrow~~\dfrac{1}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(7)} \le \dfrac{\lambda_1}{7\ell_1} \le \dfrac{1}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(7)} \end{equation}$

⟺ \frac{7 ℓ_{1}}{χ_{\frac{α}{2}}^{2} (7)} \leq λ_{1} \leq \frac{7 ℓ_{1}}{χ_{1 - \frac{α}{2}}^{2} (7)}

$\begin{equation} \Longleftrightarrow~~\dfrac{7\ell_1}{\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(7)} \le \lambda_1 \le \dfrac{7\ell_1}{\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(7)} \end{equation}$

⟺ \frac{7 \times 798}{16.01} \leq λ_{1} \leq \frac{7 \times 798}{1.69}

$\begin{equation} \Longleftrightarrow~~\dfrac{7 \times 798}{16.01} \le \lambda_1 \le \dfrac{7 \times 798}{1.69} \end{equation}$

⟺ 348.9 \leq λ_{1} \leq 3305.3

$\begin{equation} \Longleftrightarrow~~348.9 \le \lambda_1 \le 3305.3 \end{equation}$

統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説 2017年06月18日 (日) 試験

論述問題 問1 [3]

設問の要約

解答例

統計検定準1級過去問解答/解答例と解説
2017年06月18日 (日) 試験

論述問題問1 [3]