統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2017年06月18日 (日) 試験

問題の要約

• $X$ : 兄の身長

• $Y$ : 弟の身長

• $(X, Y) \sim N(\mu,~\Sigma)$

  $$\begin{equation} E[X] = 140 \end{equation}$$
  $$\begin{equation} V[X] = 15^2 \end{equation}$$
  $$\begin{equation} E[Y] = 130 \end{equation}$$
  $$\begin{equation} V[Y] = 15^2 \end{equation}$$
  $$\begin{equation} \rho = 0.6 \end{equation}$$

1. $E[Y \mid X = 150]$ はいくらか．

2. $P(Y \ge 115)$ はいくらか．

3. $P(X - Y \ge 20)$ はいくらか．

解答

1. 答 : ①

   $$\begin{equation} Y \mid X \sim N\left(\mu_Y + \frac{\sigma_Y}{\sigma_X}\rho(X - \mu_X),~\sigma_{Y}^2(1 - \rho^2) \right) \end{equation}$$
   であるので，
   $$\begin{align} Y \mid X = 150 &\sim N\left(130 + \frac{15}{15} \times 0.6 \times (150 - 140),~15^2 \times (1 - (0.6)^2) \right) \\ &\sim N\left(136,~12^2 \right) \end{align}$$
   よって，
   $$\begin{equation} E[Y \mid X = 150] = 136 \end{equation}$$

2. 答 : ⑤

   $$\begin{equation} Y \sim N(130,~15^2) \end{equation}$$
   より，
   $$\begin{equation} Z = \frac{Y - 130}{15} \sim N(0,~1^2) \end{equation}$$
   $$\begin{align} P\left(Y \ge 115\right) &= P\left(\frac{Y - 130}{15} \ge \frac{115 - 130}{15}\right) \\ &= P\left(Z \ge -1\right) \\ &= 1 - P\left(Z \ge 1\right) \\ &= 1 - 0.1587 \\ &= 0.8413 \end{align}$$

3. 答 : ①

   $$\begin{align} E[X - Y] &= E[X] - E[Y] \\ &= 140 - 130 \\ &= 10 \end{align}$$
   $$\begin{align} V[X - Y] &= V[X] + V[Y] - 2Cov[X, Y] \\ &= V[X] + V[Y] - 2\rho\sqrt{V[X]V[Y]} \\ &= 15^2 + 15^2 - 2 \times 0.6 \times \sqrt{15^2 \times 15^2} \\ &= 180 \end{align}$$
   $$\begin{equation} X- Y \sim N(10, 180) \end{equation}$$
   ここで，
   $$\begin{equation} Z = \frac{X - Y - 10}{\sqrt{180}} \sim N(0, 1) \end{equation}$$
   とおくと，
   $$\begin{align} P(X - Y \ge 20) &= P\left(\frac{X - Y - 10}{\sqrt{180}} \ge \frac{20 - 10}{\sqrt{180}}\right) \\ &= P\left(Z \ge 0.75\right) \\ &\approx 0.2266 \\ &\approx 0.23 \\ \end{align}$$