統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2016年06月19日 (日) 試験

問題の要約

• 対数線形モデルを仮定

• 第1段階～第3段階でグラフィカルモデルのモデル選択

• $M_0$ : フルモデル．A，B，C，D の 4頂点の完全グラフに対応するグラフィカルモデル

  ※図は省略

• $P_{abcd}$ : モデル $M_0$ において，観測値 がセル $(A_a,~B_b,~C_c,~D_d)$ に分類される確率

  $$\begin{align} P_{abcd} &= \mu + \alpha_a + \beta_b + \gamma_c + \delta_d \\ &~~~~+ (\alpha\beta)_{ab} + (\alpha\gamma)_{ac} + (\alpha\delta)_{ad} \\ &~~~~+ (\beta\gamma)_{bc} + (\beta\delta)_{bd} + (\gamma\delta)_{cd} \\ &~~~~+(\alpha\beta\gamma)_{abc} +(\alpha\beta\delta)_{abd} + (\alpha\gamma\delta)_{acd} + (\beta\gamma\delta)_{bcd} \\ &~~~~+ (\alpha\beta\gamma\delta)_{abcd} \end{align}$$
  ただし，
  $$\begin{equation} a,~b,~c,~d \in \{1,~2\} \end{equation}$$
  $$\begin{equation} \sum_{a=1}^{2}\alpha_a = 0 \end{equation}$$
  $$\begin{equation} \sum_{a=1}^{2}(\alpha\beta)_{ab} = \sum_{b=1}^{2}(\alpha\beta)_{ab} = 0 \end{equation}$$
  ※その他の項も同様

• グラフィカルモデルにおけるモデル選択は逸脱度を用いる．

  $n_{abcd}$ : セル $(A_a,~B_b,~C_c,~D_d)$ の観測度数

  $m_{abcd}$ : セル $(A_a,~B_b,~C_c,~D_d)$ の期待度数

  $$\begin{align} \text{逸脱度} &= 2\left\{\log(\text{選択候補のモデルの最大尤度}) - \log(\text{フルモデルの最大尤度})\right\} \\ &= 2 \sum_{a,b,c,d}n_{abcd}\log \frac{n_{abcd}}{m_{abcd}} \end{align}$$

• 「$H_0$ : 選択候補のモデルが真」の下で，逸脱度は漸近的に $\chi^2$ 分布に従う

• 自由度は，0にしたパラメータの数