統計検定準1級過去問解答/解答例と解説
2016年06月19日 (日) 試験

論述問題問3 [1]

設問の要約

(第1段階)

完全グラフの 6つの辺をそれぞれ取り除いた 6つのモデル
$M_1$ : 辺CDを除いたモデル．6つのモデルのうち最も当てはまりのよいモデル
逸脱度は 2.062

(1)

モデル $M_1$ の式，逸脱度の自由度を求めよ．

(2)

モデル $M_1$ の下での期待度数は，周辺度数 $\{n_{abc+}\}$ ， $\{n_{ab+d}\}$ から求めることができる．
$n_{a b c +} = \sum_{d = 1}^{2} n_{a b c d}$
$\begin{equation} n_{abc+} = \sum_{d=1}^{2}n_{abcd} \end{equation}$

$n_{a b + d} = \sum_{c = 1}^{2} n_{a b c d}$
$\begin{equation} n_{ab+d} = \sum_{c=1}^{2}n_{abcd} \end{equation}$
モデル $M_1$ の下での期待度数の式を示せ．
セル (no, no, no, <140) の期待度数を求めよ．

(3)

フルモデルに対するモデル $M_1$ の逸脱度 2.062 の P値について考察せよ．

解答例

(1)

モデル $M_1$ の式は，モデル $M_0$ の式から $cd$ の添え字のある項を除いた式となる．

\begin{aligned} P_{a b c d} & = μ + α_{a} + β_{b} + γ_{c} + δ_{d} \\ + (α β)_{a b} + (α γ)_{a c} + (α δ)_{a d} \\ + (β γ)_{b c} + (β δ)_{b d} \\ + (α β γ)_{a b c} + (α β δ)_{a b d} \end{aligned}

$\begin{align} P_{abcd} &= \mu + \alpha_a + \beta_b + \gamma_c + \delta_d \\ &~~~~+ (\alpha\beta)_{ab} + (\alpha\gamma)_{ac} + (\alpha\delta)_{ad} \\ &~~~~+ (\beta\gamma)_{bc} + (\beta\delta)_{bd} \\ &~~~~+(\alpha\beta\gamma)_{abc} +(\alpha\beta\delta)_{abd} \end{align}$

取り除いた項は，

(γ δ)_{c d}

$\begin{equation} (\gamma\delta)_{cd} \end{equation}$

(α γ δ)_{a c d}

$\begin{equation} (\alpha\gamma\delta)_{acd} \end{equation}$

(β γ δ)_{b c d}

$\begin{equation} (\beta\gamma\delta)_{bcd} \end{equation}$

(α β γ δ)_{a b c d}

$\begin{equation} (\alpha\beta\gamma\delta)_{abcd} \end{equation}$

なので，自由度は 4となる．

(2)

\begin{aligned} p (a, b, c, d) & = p (c, d ∣ a, b) p (a, b) \\ = p (c ∣ a, b) p (d ∣ a, b) p (a, b) \\ = \frac{n_{a b c +}}{n_{a b + +}} \times \frac{n_{a b + d}}{n_{a b + +}} \times \frac{n_{a b + +}}{n_{+ + +}} \end{aligned}

$\begin{align} p(a, b, c, d) &= p(c, d \mid a, b)\,p(a, b) \\ &= p(c \mid a, b)\,p(d \mid a, b)\,p(a, b) \\ &= \frac{n_{abc+}}{n_{ab++}} \times \frac{n_{ab+d}}{n_{ab++}} \times \frac{n_{ab++}}{n_{+++}} \end{align}$

モデル

M_{1}

$M_1$ の期待度数

m_{a b c d}

$m_{abcd}$ は，

\begin{aligned} m_{a b c d} & = n_{+ + + +} \times p (a, b, c, d) \\ = n_{+ + + +} \times \frac{n_{a b c +}}{n_{a b + +}} \times \frac{n_{a b + d}}{n_{a b + +}} \times \frac{n_{a b + +}}{n_{+ + +}} \\ = \frac{n_{a b c +} n_{a b + d}}{n_{a b + +}} \end{aligned}

$\begin{align} m_{abcd} &= n_{++++} \times p(a, b, c, d) \\ &= n_{++++} \times \frac{n_{abc+}}{n_{ab++}} \times \frac{n_{ab+d}}{n_{ab++}} \times \frac{n_{ab++}}{n_{+++}} \\ &= \frac{n_{abc+}n_{ab+d}}{n_{ab++}} \end{align}$

セル (no, no, no, <140) の期待度数は，

\begin{aligned} m_{1111} & = \frac{n_{111 +} n_{11 + 1}}{n_{11 + +}} \\ = \frac{(79 + 67) \times (79 + 197)}{79 + 67 + 197 + 179} \\ = \frac{146 \times 276}{522} \\ = 77.195 \end{aligned}

$\begin{align} m_{1111} &= \frac{n_{111+}n_{11+1}}{n_{11++}} \\ &= \frac{(79 + 67) \times (79 + 197)}{79 + 67 + 197 + 179} \\ &= \frac{146 \times 276}{522} \\ &= 77.195 \end{align}$

(3)

カイ二乗分布表からわかるのはパーセント点である．P値は近似して求める．

χ_{0.90}^{2} (4) = 1.06

$\begin{equation} \chi^2_{0.90}(4) = 1.06 \end{equation}$

χ_{0.10}^{2} (4) = 7.78

$\begin{equation} \chi^2_{0.10}(4) = 7.78 \end{equation}$

よって，

1.06 < 2.062 < 7.78

$\begin{equation} 1.06 < 2.062 < 7.78 \end{equation}$

なので，帰無仮説は棄却できない．つまり，モデル

M_{1}

$M_1$ への当てはまりが悪いとは言えない．

カイ二乗分布表では， $\chi^2$ 統計量からはその P値を求めることができないので，次のようにして p値を推測する．

\begin{aligned} P値 & = 90 - (0.90 - 0.10) \times \frac{2.062 - 1.06}{7.78 - 1.06} \\ = 0.78 \end{aligned}

$\begin{align} \text{P値} &= 90 - (0.90 - 0.10) \times \frac{2.062 - 1.06}{7.78 - 1.06} \\ &= 0.78 \end{align}$

統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説 2016年06月19日 (日) 試験

論述問題 問3 [1]

設問の要約

解答例

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