統計検定準1級過去問解答/解答例と解説
2016年06月19日 (日) 試験

論述問題問2 [1]

設問の要約

$x$ : 年齢 (説明変数)
$y$ : 50m走のタイム (目的変数)
単回帰分析を行う．

(1)

計算を簡単にするため， $z = 0.2x - 4$ と変換
次のようにおく．
$Z = (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})$
$\begin{equation} Z = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{equation}$

$y = (\begin{matrix} 7.7 \\ 6.6 \\ 7.0 \\ 7.2 \\ 8.0 \end{matrix})$
$\begin{equation} \bm{y} = \begin{pmatrix} 7.7 \\ 6.6 \\ 7.0 \\ 7.2 \\ 8.0 \end{pmatrix} \end{equation}$
単回帰式 $y = \hat{\alpha} + \hat{\beta}x$ を求めよ．

(2)

予測ベクトル $\hat{\bm{y}}$ と残差平方和を求めよ．

解答例

(1)

$x$	$y$	$z$
10	7.7	-2
15	6.6	-1
20	7.0	0
25	7.2	1
30	8.0	2

β = (\begin{matrix} α \\ β \end{matrix})

$\begin{equation} \bm{\beta} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \end{equation}$

とおくと，

β

$\bm{\beta}$ は次の式より求めることができる．

β = (Z^{'} Z)^{- 1} Z^{'} y

$\begin{equation} \bm{\beta}= (Z'Z)^{-1}Z'\bm{y} \end{equation}$

\begin{aligned} Z^{'} Z & = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 2 & - 1 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 1 & - 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 5 & 0 \\ 0 & 10 \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} Z'Z &= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 10 \end{pmatrix} \end{align}$

\begin{aligned} (Z^{'} Z)^{- 1} & = \frac{1}{5 \times 10 - 0} (\begin{matrix} 10 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix}) \\ = \frac{1}{10} (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} (Z'Z)^{-1} &= \frac{1}{5 \times 10 - 0} \begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$

\begin{aligned} (Z^{'} Z)^{- 1} Z^{'} & = \frac{1}{10} (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ - 2 & - 1 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}) \\ = \frac{1}{10} (\begin{matrix} 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ - 2 & - 1 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} (Z'Z)^{-1}Z' &= \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \end{align}$

\begin{aligned} (Z^{'} Z)^{- 1} Z^{'} y & = \frac{1}{10} (\begin{matrix} 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ - 2 & - 1 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 7.7 \\ 6.6 \\ 7.0 \\ 7.2 \\ 8.0 \end{matrix}) \\ = \frac{1}{10} (\begin{matrix} 2 \times 7.7 + 2 \times 6.6 + 2 \times 7.0 + 2 \times 7.2 + 2 \times 8.0 \\ (- 2) \times 7.7 + (- 1) \times 6.6 + 0 \times 7.0 + 1 \times 7.2 + 2 \times 8.0 \end{matrix}) \\ = \frac{1}{10} (\begin{matrix} 73 \\ 1.2 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} 7.3 \\ 0.12 \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} (Z'Z)^{-1}Z'\bm{y} &= \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7.7 \\ 6.6 \\ 7.0 \\ 7.2 \\ 8.0 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 2 \times 7.7 + 2 \times 6.6 + 2 \times 7.0 + 2 \times 7.2 + 2 \times 8.0 \\ (-2) \times 7.7 + (-1) \times 6.6 + 0 \times 7.0 + 1 \times 7.2 + 2 \times 8.0 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 73 \\ 1.2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 7.3 \\ 0.12 \end{pmatrix} \end{align}$

よって，

β = (\begin{matrix} α \\ β \end{matrix}) = (\begin{matrix} 7.3 \\ 0.12 \end{matrix})

$\begin{equation} \bm{\beta} = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7.3 \\ 0.12 \end{pmatrix} \end{equation}$

なので，単回帰式は，

\begin{aligned} y & = 7.3 + 0.12 z \\ = 7.3 + 0.12 \times (0.2 x - 4) \\ = 7.3 + 0.24 x - 0.48 \\ = 6.82 + 0.024 x \end{aligned}

$\begin{align} y &= 7.3 + 0.12z \\ &= 7.3 + 0.12 \times (0.2 x - 4) \\ &= 7.3 + 0.24x - 0.48 \\ &= 6.82 + 0.024 x \end{align}$

(2)

$x$	$y$	$\hat{y}$	$(y - \hat{y})^2$
10	7.7	7.06	0.410
15	6.6	7.18	0.336
20	7	7.3	0.090
25	7.2	7.42	0.048
30	8	7.54	0.212
		合計	1.096

上の表より，残差平方和は 1.10 である．

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