統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2016年06月19日 (日) 試験

問題の要約

1. (ア)，(イ) の確率密度関数のグラフはどれか．

   (ア) $0.5N(-0.5,~1.0^2) + 0.5N(0.5,~1.0^2)$

   (イ) $0.3N(-1.0,~1.0^2) + 0.7N(2.0,~0.5^2)$

   ※図は省略

2. 混合モデル : $\pi\,N(\mu_1,~1.0^2) + (1-\pi)\,N(\mu_2,~1.0^2)$

   群1 : $N(\mu_1,~1.0^2)$

   群2 : $N(\mu_2,~1.0^2)$

   $y_1, y_2, \ldots, y_n$ : 独立な観測値

   $\pi,~\mu_1,~\mu_2$ を EM法によって推測する．

   EM法は，適当な初期値から始め，次の2つのステップを交互に行う．

   • E-step:

     $\hat{\pi},~\hat{\mu}_1,~\hat{\mu}_2$ を既知として観測値 $y_i~(i=1,\ldots,n)$ が群1 からの観測値である確率の推定値 $\hat{\gamma}_i$ を更新．

   • M-step:

     $\hat{\gamma}_i~(i=1,\ldots,n)$ を重みとして$\hat{\pi},~\hat{\mu}_1$ を更新．

     $1 - \hat{\gamma}_i~(i=1,\ldots,n)$ を重みとして$\hat{\mu}_2$ を更新．

解答

1. 答 : ①

   (ア)

   $0.5 N(-0.5,~1.0^2)$ と $0.5 N(0.5,~1.0^2)$ の関数は，$x = 0$ で左右対称であることから，合成すれば単峰性分布となる．よって，グラフは (a) であるとわかる．

   (イ)

   $0.3 N(-1.0,~1.0^2)$ と $0.7 N(2.0,~0.5^2)$ は対称性のない全く異なった形の関数であることから，合成すれば二峰性分布となる． $x = -1.0$ と $x = 2.0$ でピークとなり，二つの分布関数にかけている係数が 0.3 と 0.7 であることから，ピークは $x = 2.0$ のときの方が高くなる．よって，グラフは (c) であるとわかる．

2. 答 : ④

   群1の確率密度関数 $f_Y(y)$ は，

   $$\begin{equation} f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{1}{2}(y - \hat{\mu}_1)^2\right] \end{equation}$$
   群2の確率密度関数 $g_Y(y)$ は，
   $$\begin{equation} g_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{1}{2}(y - \hat{\mu}_2)^2\right] \end{equation}$$
   と書ける．群1からの観測値である確率の推定値 $\hat{\gamma}_i$ は，次で求めることができる．
   $$\begin{equation} \hat{\gamma}_i = \frac{\hat{\pi} f_Y(y_i)}{\hat{\pi} f_Y(y_i) + (1 - \hat{\pi})f_Y(y_i)} \end{equation}$$
   よって，
   $$\begin{equation} \hat{\gamma}_i = \frac{\hat{\pi}\exp\left[-\frac{1}{2}(y - \hat{\mu}_1)^2\right]}{\hat{\pi}\exp\left[-\frac{1}{2}(y - \hat{\mu}_1)^2\right] + (1 - \hat{\pi})\exp\left[-\frac{1}{2}(y - \hat{\mu}_2)^2\right]} \end{equation}$$

   $\hat{\pi}$ は，$\hat{\gamma}_i~(i=1,\ldots,n)$ の算術平均で更新する．

   $$\begin{equation} \hat{\pi} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\hat{\gamma}_i \end{equation}$$

   $\hat{\mu}_1$ は，$\hat{\gamma}_i$ を重みとして，$y_i$ の重み付け平均で更新する．

   $$\begin{equation} \hat{\mu}_1 = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n}\hat{\gamma}_i}\sum_{i=1}^{n}\hat{\gamma}_i\,y_i \end{equation}$$
   同様に，$\hat{\mu}_2$ は，$(1 - \hat{\gamma}_i)$ を重みとして，$y_i$ の重み付け平均で更新する．
   $$\begin{equation} \hat{\mu}_2 = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n}(1 - \hat{\gamma}_i)}\sum_{i=1}^{n}(1 - \hat{\gamma}_i)\,y_i \end{equation}$$