統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2016年06月19日 (日) 試験

問題の要約

• 政党の支持率

  先月 : 0.4

  今月 : 0.45

• $n$ : 無作為に抽出された全国の有権者の数

1. $H_0 : p = 0.4$

   $\hat{p}$ : 標本支持率

   $c$ : $P(\hat{p} \ge c) = 0.05$ を満たす

   $n = 600$ のとき，$c$ の値はいくらか．

2. $H_0 : p = 0.4$

   $H_1 : p = 0.45$

   棄却域 : $\hat{p} > c$

   $n = 600$ のとき，検定の検出力はいくらか．

3. $H_0 : p = 0.4$

   $H_1 : p = 0.45$

   有意水準 5% で片側検定

   検出力 0.95 を得るために必要な人数 $n$ はいくらか．

解答

1. 答 : ③

   $$\begin{equation} P(\hat{p} \ge c \mid p = 0.4) = 0.05 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} P\left(\frac{\hat{p} - p}{\ds\sqrt{p(1 - p)/n}} \ge \frac{c - p}{\ds\sqrt{p(1 - p)/n}}~\middle|~p = 0.4 \right) = 0.05 \end{equation}$$
   ここで，
   $$\begin{equation} Z = \frac{\hat{p} - p}{\ds\sqrt{p(1 - p)/n}} \end{equation}$$
   とおくと，
   $$\begin{equation} Z \sim N(0, 1^2) \end{equation}$$
   となるので，次を満たさなくてはならない．
   $$\begin{equation} \frac{c - p}{\ds\sqrt{p(1 - p)/n}} = z_{0.05} \end{equation}$$
   よって，
   $$\begin{align} c &= p + z_{0.05}\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} \\ &= 0.4 + 1.64 \times \sqrt{\frac{0.4 \times (1 - 0.4)}{600}} \\ &= 0.433 \end{align}$$

2. 答 : ⑤

   検出力を $\beta$ とすると，

   $$\begin{equation} P(\hat{p} \ge c \mid p = 0.45) = \beta \end{equation}$$
   $$\begin{equation} P\left(\frac{\hat{p} - p}{\ds\sqrt{p(1 - p)/n}} \ge \frac{c - p}{\ds\sqrt{p(1 - p)/n}}~\middle|~p = 0.45 \right) = \beta \end{equation}$$
   ここで，
   $$\begin{equation} Z = \frac{\hat{p} - p}{\ds\sqrt{p(1 - p)/n}} \end{equation}$$
   とおくと，
   $$\begin{equation} Z \sim N(0, 1^2) \end{equation}$$
   また，
   $$\begin{align} \frac{c - p}{\ds\sqrt{p(1 - p)/n}} &= \frac{0.433 - 0.45}{\ds\sqrt{0.45 \times (1 - 0.45)/600}} \\ &= \frac{-0.017}{0.0203} \\ &= -0.84 \end{align}$$
   よって，
   $$\begin{align} \beta &= P(Z \ge -0.84) \\ &= 1 - P(Z \ge 0.84) \\ &= 1 - 0.2005 \\ &= 0.80 \\ \end{align}$$

3. 答 : ⑤

   $H_0$ の下での支持率を $p_0$，$H_1$ の下での支持率を $p_1$ とする．

   $$\begin{equation} P(\hat{p} \ge c \mid p_0 = 0.4) = 0.05 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} P\left(\frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1 - p_0)/n}} \ge \frac{c - p_0}{\sqrt{p_0(1 - p_0)/n}}~\middle|~p_0 = 0.4 \right) = 0.05 \end{equation}$$
   ここで，
   $$\begin{equation} Z_0 = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{p_0(1 - p_0)/n}} \end{equation}$$
   とおくと，
   $$\begin{equation} Z_0 \sim N(0, 1^2) \end{equation}$$
   となるので，
   $$\begin{equation} \frac{c - p_0}{\sqrt{p_0(1 - p_0)/n}} = z_{0.05} \end{equation}$$
   よって，
   $$\begin{equation} c = p_0 + z_{0.05}\sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}} \end{equation}$$
   このとき，
   $$\begin{equation} P(\hat{p} \ge c \mid p_1 = 0.45) \ge 0.95 \end{equation}$$
   となるような，$n$ を求める．
   $$\begin{equation} P\left(\frac{\hat{p} - p_1}{\sqrt{p_1(1 - p_1)/n}} \ge \frac{c - p_1}{\sqrt{p_1(1 - p_1)/n}}~\middle|~p_1 = 0.45 \right) = 0.95 \end{equation}$$
   ここで，
   $$\begin{equation} Z_1 = \frac{\hat{p} - p_1}{\sqrt{p_1(1 - p_1)/n}} \end{equation}$$
   とおくと，
   $$\begin{equation} Z_1 \sim N(0, 1^2) \end{equation}$$
   となるので，
   $$\begin{equation} \frac{c - p_1}{\sqrt{p_1(1 - p_1)/n}} = z_{0.95} = - z_{0.05} \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \frac{\sqrt{n}(c - p_1)}{\sqrt{p_1(1 - p_1)}} = - z_{0.05} \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \sqrt{n}(c - p_1) = - z_{0.05}\sqrt{p_1(1 - p_1)} \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \sqrt{n}\left(p_0 + z_{0.05}\sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}} - p_1\right) = - z_{0.05}\sqrt{p_1(1 - p_1)} \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \sqrt{n}(p_0 - p_1) + z_{0.05}\sqrt{p_0(1 - p_0)} = - z_{0.05}\sqrt{p_1(1 - p_1)} \end{equation}$$
   $$\begin{equation} \sqrt{n}(p_0 - p_1) = - z_{0.05}\left(\sqrt{p_0(1 - p_0)} + \sqrt{p_1(1 - p_1)}\right) \end{equation}$$
   $$\begin{align} \sqrt{n} &= - z_{0.05}\frac{\sqrt{p_0(1 - p_0)} + \sqrt{p_1(1 - p_1)}}{p_0 - p_1} \\ &= - 1.64 \times \frac{\sqrt{0.4 \times 0.6} + \sqrt{0.45 \times 0.55}}{0.4 - 0.45} \\ &= 1.64 \times \frac{\sqrt{0.24} + \sqrt{0.2475}}{0.05} \\ &= 32.8 \times (0.4899 + 0.4975) \\ &= 32.8 \times 0.49874 \\ &= 32.39 \end{align}$$
   よって，
   $$\begin{equation} n = 1050 \end{equation}$$