統計検定準1級過去問解答/解答例と解説
2015年06月21日 (日) 試験

論述問題問3 [3]

設問の要約

$x$ : 上問 [2] に性別を表すダミー変数
$x = {\begin{cases} 1 & (男性) \\ 0 & (女性) \end{cases}$
$\begin{equation} x = \begin{cases} 1 & (\text{男性}) \\ 0 & (\text{女性}) \end{cases} \end{equation}$
ロジスティック回帰
$l o g i t (p) = \log \frac{p}{1 - p} = α + β z + γ x + ξ z x$
$\begin{equation} \mathrm{logit}(p) = \log \frac{p}{1 - p} = \alpha + \beta z + \gamma x + \xi zx \end{equation}$
$\alpha, \beta, \gamma, \xi$ の推定値を，(a)，(b) の分割表から求めよ．
$\alpha, \beta, \gamma, \xi$ はそれぞれ何を意味するかを述べよ．特に， $\xi = 0$ のときの解釈を与えよ．

解答例

$x = 0, z = 0$ のとき，すなわち，女性の対照群のとき，

\log \frac{p}{1 - p} = α

$\begin{equation} \log \frac{p}{1 - p} = \alpha \end{equation}$

となり，

α

$\alpha$ は女性の対照群の対数オッズであることがわかる．よって，

\hat{α} = - 0.405

$\begin{equation} \hat{\alpha} = −0.405 \end{equation}$

$x = 0, z = 1$ のとき，すなわち，女性の処置群のとき，

\log \frac{p}{1 - p} = α + β

$\begin{equation} \log \frac{p}{1 - p} = \alpha + \beta \end{equation}$

となり，前問と同様に考えると，

β

$\beta$ は女性の処置群の対数オッズ比であることがわかる．よって，

\hat{β} = 0.182

$\begin{equation} \hat{\beta} = 0.182 \end{equation}$

$x = 1, z = 0$ のとき，すなわち，男性の対照群のとき，

\log \frac{p}{1 - p} = α + γ

$\begin{equation} \log \frac{p}{1 - p} = \alpha + \gamma \end{equation}$

となり，

γ

$\gamma$ は対照群での女性に対する男性の対数オッズ比であることがわかる．よって，

\hat{γ} = \log \frac{4 / 3}{2 / 3} \approx 0.693

$\begin{equation} \hat{\gamma} = \log \frac{4/3}{2/3} \approx 0.693 \end{equation}$

$x = 1, z = 1$ のとき，すなわち，男性の処置群のとき，

\log \frac{p}{1 - p} = α + β + γ + ξ

$\begin{equation} \log \frac{p}{1 - p} = \alpha + \beta + \gamma + \xi \end{equation}$

\log \frac{8}{5} = \log \frac{2}{3} + \log \frac{12 / 15}{2 / 3} + \log \frac{4 / 3}{2 / 3} + ξ

$\begin{equation} \log\frac{8}{5} = \log\frac{2}{3} + \log\frac{12/15}{2/3} + \log\frac{4/3}{2/3} + \xi \end{equation}$

\begin{aligned} ξ & = \log \frac{8}{5} - \log \frac{2}{3} - \log \frac{12 / 15}{2 / 3} - \log \frac{4 / 3}{2 / 3} \\ = \log \frac{8}{5} + \log \frac{3}{2} + \log \frac{2 / 3}{12 / 15} + \log \frac{2 / 3}{4 / 3} \\ = \log (\frac{8}{5} \times \frac{3}{2} \times \frac{2 / 3}{12 / 15} \times \frac{2 / 3}{4 / 3}) \\ = \log (\frac{8}{5} \times \frac{3}{2} \times \frac{2 \times 15}{12 \times 3} \times \frac{2 \times 3}{4 \times 3}) \\ = \log 1 \\ = 0 \end{aligned}

$\begin{align} \xi &= \log\frac{8}{5} - \log\frac{2}{3} - \log\frac{12/15}{2/3} - \log\frac{4/3}{2/3} \\ &= \log\frac{8}{5} + \log\frac{3}{2} + \log\frac{2/3}{12/15} + \log\frac{2/3}{4/3} \\ &= \log\left(\frac{8}{5} \times \frac{3}{2} \times \frac{2/3}{12/15} \times \frac{2/3}{4/3}\right) \\ &= \log\left(\frac{8}{5} \times \frac{3}{2} \times \frac{2 \times 15}{12 \times 3} \times \frac{2 \times 3}{4 \times 3}\right) \\ &= \log 1 \\ &= 0 \end{align}$

γ

$\gamma$ は性別と処置との間の交互作用を表す．

\log 男性の処置群 = \log 女性の対照群 + \log \frac{女 性 の 処 置 群}{女 性 の 対 照 群} + \log \frac{男 性 の 対 照 群}{女 性 の 対 照 群} + ξ

$\begin{equation} \log\text{男性の処置群} = \log\text{女性の対照群} + \log\frac{女性の処置群}{女性の対照群} + \log\frac{男性の対照群}{女性の対照群} + \xi \end{equation}$

\begin{aligned} ξ & = \log 男性の処置群 - \log 女性の対照群 - \log \frac{女 性 の 処 置 群}{女 性 の 対 照 群} - \log \frac{男 性 の 対 照 群}{女 性 の 対 照 群} \\ = \log \frac{男性の処置群}{女性の対照群} + \log \frac{女 性 の 対 照 群}{女 性 の 処 置 群} + \log \frac{女 性 の 対 照 群}{男 性 の 対 照 群} \\ = \log \frac{男性の処置群 \times 女性の対照群}{女性の処置群 \times 男性の対照群} \\ = \log \frac{男性の処置群 / 男性の対照群}{女性の処置群 / 女性の対照群} \\ = \log 男性のオッズ - \log 女性のオッズ \end{aligned}

$\begin{align} \xi &= \log\text{男性の処置群} - \log\text{女性の対照群} - \log\frac{女性の処置群}{女性の対照群} - \log\frac{男性の対照群}{女性の対照群} \\ &= \log\frac{\text{男性の処置群}}{\text{女性の対照群}} + \log\frac{女性の対照群}{女性の処置群} + \log\frac{女性の対照群}{男性の対照群} \\ &= \log\frac{\text{男性の処置群} \times \text{女性の対照群}}{\text{女性の処置群} \times \text{男性の対照群}} \\ &= \log\frac{\text{男性の処置群} / \text{男性の対照群}}{\text{女性の処置群} / \text{女性の対照群}} \\ &= \log\text{男性のオッズ} - \log\text{女性のオッズ} \end{align}$

これより，

ξ = 0

$\xi = 0$ は，男女でオッズ比は同じであることがわかる．

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論述問題 問3 [3]

設問の要約

解答例

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