統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2015年06月21日 (日) 試験

問題の要約

• $L, R, T = L + R$ : それぞれ Listening，Reading，Total の点数を表す確率変数

  $$\begin{equation} E[L] = 310,~~V[L] = 85^2 \end{equation}$$
  $$\begin{equation} E[R] = 260,~~V[R] = 95^2 \end{equation}$$
  $$\begin{equation} E[L+R] = 570,~~V[L+R] = 170^2 \end{equation}$$

1. Listening の点数と Reading の点数の間の相関係数を求めよ．

2. Listening の点数と Reading の点数の差の標準偏差を求めよ．

3. Listening の 点数が 350 点だった人たちの Reading の点数の条件付き期待値の推定値を求めよ．

   Listening と Reading の点数は 2変量正規分布に従うとする．

解答

1. 答 : ⑤

   Listening の点数と Reading の点数の間の共分散を求める．

   $$\begin{equation} V[T] = V[L + R] = V[L] + E[R] + 2Cov[L, R] \end{equation}$$
   $$\begin{equation} 170^2 = 85^2 + 95^2 + 2Cov[L, R] \end{equation}$$
   $$\begin{equation} 28900 = 7225 + 9025 + 2Cov[L, R] \end{equation}$$
   $$\begin{equation} Cov[L, R] = 6325 \end{equation}$$
   Listening の点数と Reading の点数の間の相関係数 $r_{LR}$ は，
   $$\begin{align} r_{LR} &= \frac{Cov[L, R]}{\sqrt{V[L]}\,\sqrt{V[R]}} \\ &= \frac{6325}{85 \times 95} \\ &= \frac{6325}{8075} \\ &\approx 0.783 \end{align}$$

2. 答 : ⑤

   $$\begin{align} V[L - R] &= V[L] + V[R] - 2Cov[L, R] \\ &= 85^2 + 95^2 - 2 \times 6325 \\ &= 7225 + 9025 - 12650 \\ &= 3600 \end{align}$$
   よって，Listening の点数と Reading の点数の差の標準偏差は $\sqrt{3600} = 60$．

3. 答 : ⑤

   確率変数 $L$ と $R$ が 2 変量正規分布に従うとき，$L$ が与えられたときの $R$ の条件付き分布は次のようになる．

   $$\begin{equation} R \mid L~~\sim~~\mathrm{N}\left(\mu_R + \frac{\sigma_R}{\sigma_L}\rho(L - \mu_L),~{\sigma_R}^2(1 - \rho^2)\right) \\ \end{equation}$$
   ここで，$\mu_L, {\sigma_L}^2$ は Listening の点数の母平均と母分散，$\mu_R, {\sigma_R}^2$ は Reading の点数の母平均と母分散， $\rho$ は Listening と Reading の点数の母相関係数である．

   これより，$L$ が与えられたときの $R$ の条件付き期待値の推定値は，

   $$\begin{align} E[R \mid L = 350] &= E[R] + \frac{\sqrt{V[R]}}{\sqrt{V[L]}}\rho(350 - E[L]) \\ &= 260 + \frac{95}{85} \times 0.78 \times (350 - 310) \\ &\approx 294.9 \end{align}$$