統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2015年06月21日 (日) 試験

問題の要約

• 1次の自己回帰モデル :

  $$\begin{equation} \xi_{t+1} = \alpha \xi_t + \epsilon_i~~~~(t=0,1,\ldots) \end{equation}$$
  $$\begin{equation} \epsilon_i \sim N(0, \sigma^2) \end{equation}$$

1. 次の時系列グラフのうちで，$\alpha = 0.7$ および $\alpha = 0$を示すグラフはどれか．

   ※図は省略

2. 回帰モデル

   $$\begin{equation} Y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + \xi_t~~(t = 0, 1, \ldots) \end{equation}$$
   ダービン・ワトソン(DW)統計量によって，誤差項 $\xi_t$ に 1次の自己回帰過程が想定されるかどうかを検定する．

   DW 統計量の値の読み方，および，推定量の偏りに関する記述について適切なものを選べ．

   ※選択肢は省略

解答

1. 答 : ③

   $\alpha = 0$ のとき，

   $$\begin{equation} \xi_{t+1} = \epsilon_t \end{equation}$$
   となり，単にホワイトノイズになる．よって，グラフ (C) となる．

   また，$\alpha = 0.7$ のときは，時刻 $t-1$ からの影響を 0.7 倍うけ，ホワイトノイズを加えたと想像すると，グラフは (B) である．

2. 答 : ③

   ダービン・ワトソン統計量は次で求める．

   $$\begin{equation} DW = \frac{\sum_{t=2}^{T}(e_{t} - e_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^{T} e_{t}^2} \approx 2(1 - \hat{\rho}) \end{equation}$$
   ここで，$e_t$ は残差，$\hat{\rho}$ は $\xi_{t}$ と $\xi_{t-1}$ の相関係数の推定値である． また，$0 \le DW\le 4$であり，次のように自己相関について判定する．

   • DWが 2 に近いとき，自己相関がないと判定

   • DWが 2 より十分に小さいとき，正の自己相関があると判定

   • DWが 2 より十分に大きいとき，負の自己相関があると判定

   誤差項に自己相関のある場合は，回帰係数の最小二乗推定量は最良線形不偏推定量とはならないが，偏りはもたない．