統計検定準1級過去問解答/解答例と解説
2015年06月21日 (日) 試験

論述問題問3 [2]

$p$ : 生存率
$z$ : 処置を表すダミー変数
$z = {\begin{cases} 1 & (処置) \\ 0 & (対照) \end{cases}$
$\begin{equation} z = \begin{cases} 1 & (\text{処置}) \\ 0 & (\text{対照}) \end{cases} \end{equation}$
ロジスティック回帰
$l o g i t (p) = \log \frac{p}{1 - p} = α + β z$
$\begin{equation} \mathrm{logit}(p) = \log \frac{p}{1 - p} = \alpha + \beta z \end{equation}$
$\alpha$ と $\beta$ の推定値を，(a)，(b)，(c)の分割表からそれぞれ求めよ．
$\alpha, \beta$ はそれぞれ何を意味するかを述べよ．

$z = 0$ のとき，すなわち，対照群のとき，

\log \frac{p}{1 - p} = α

$\begin{equation} \log \frac{p}{1 - p} = \alpha \end{equation}$

左辺は対数オッズの形をしているので，

α

$\alpha$ は対照群の対数オッズを意味する．

$z = 1$ のとき，

\log \frac{p}{1 - p} = α + β

$\begin{equation} \log \frac{p}{1 - p} = \alpha + \beta \end{equation}$

左辺は，処置群のときの対数オッズを表すはずである．対照群の生存確率を

p_{1}

$p_{1}$ ，処置群の生存確率を

p_{2}

$p_{2}$ と置くと，

α = \log \frac{p_{1}}{1 - p_{1}}

$\begin{equation} \alpha = \log \frac{p_1}{1 - p_1} \end{equation}$

であり，

\log \frac{p_{2}}{1 - p_{2}} = \log \frac{p_{1}}{1 - p_{1}} + β

$\begin{equation} \log \frac{p_2}{1 - p_2} = \log \frac{p_1}{1 - p_1} + \beta \end{equation}$

と書ける．

β

$\beta$ について解くと，

\begin{aligned} β & = \log \frac{p_{2}}{1 - p_{2}} - \log \frac{p_{1}}{1 - p_{1}} \\ = \log \frac{\frac{p_{2}}{1 - p_{2}}}{\frac{p_{1}}{1 - p_{1}}} \end{aligned}

$\begin{align} \beta &= \log \frac{p_2}{1 - p_2} - \log \frac{p_1}{1 - p_1} \\ &= \log \frac{\frac{p_2}{1 - p_2}}{\frac{p_1}{1 - p_1}} \end{align}$

よって，

β

$\beta$ は対照群に対する処置群の対数オッズ比であることがわかる．

以上のことから，男性，女性，併合での $\hat{\alpha}$ と $\hat{\beta}$ をそれぞれ求めると，以下のようになる．

男性の場合:

\hat{α} = \log \frac{4}{3} \approx 0.2878

$\begin{equation} \hat{\alpha} = \log \frac{4}{3} \approx 0.2878 \end{equation}$

\hat{β} = \log O R \approx 0.182

$\begin{equation} \hat{\beta} = \log OR \approx 0.182 \end{equation}$

女性の場合:

\hat{α} = \log \frac{2}{3} \approx - 0.405

$\begin{equation} \hat{\alpha} = \log \frac{2}{3} \approx -0.405 \end{equation}$

\hat{β} = \log O R \approx 0.182

$\begin{equation} \hat{\beta} = \log OR \approx 0.182 \end{equation}$

併合の場合:

\hat{α} = \log \frac{6}{6} = 0

$\begin{equation} \hat{\alpha} = \log \frac{6}{6} = 0 \end{equation}$

\hat{β} = \log O R = 0

$\begin{equation} \hat{\beta} = \log OR = 0 \end{equation}$