統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2015年06月21日 (日) 試験

問題の要約

• 受験者数 : 500人

• 受験者全体でのテストの得点の分布 : $N(60, 20^2)$

• A君 : 80点

• B君 : 50点

1. A君および B君の偏差値を求めよ．

2. A君の得点と B君の得点の間に入る受験者の人数を求めよ．

3. 四分位範囲を求めよ．

4. 60点以上の受験者の平均点を求めよ．

解答

1. 答 : ④

   A君の偏差値

   $$\begin{equation} 50 + \frac{80 - 60}{20} * 10 = 60 \end{equation}$$

   B君の偏差値

   $$\begin{equation} 50 + \frac{50 - 60}{20} * 10 = 45 \end{equation}$$

2. 答 : ④

   A君の場合

   $$\begin{equation} \frac{80 - 60}{20} = 1.00 \end{equation}$$
   標準正規分布表より，
   $$\begin{equation} P(Z > 1.00) = 0.1587 \end{equation}$$

   B君の場合

   $$\begin{equation} \frac{50 - 60}{20} = -0.50 \end{equation}$$
   標準正規分布表より，
   $$\begin{equation} P(Z > -0.50) = 1 - P(Z > 0.50) = 1 - 0.3085 = 0.6915 \end{equation}$$
   これらより，
   $$\begin{align} P(-0.50 \le Z \le 1.00) &= P(Z > -0.50) - P(Z > 1.00) \\ &= 0.6915 - 0.1587 \\ &= 0.5328 \end{align}$$
   よって，A君の得点とB君の得点の間に入る受験者の人数は，
   $$\begin{equation} 500 \times 0.5328 = 266.4 \end{equation}$$

3. 答 : ②

   標準正規分布表より，上側確率 25% となる点は 0.67 である． 実際の点数に換算すると，

   $$\begin{equation} \frac{x_1 - 60}{20} = 0.67 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} x_1 = 73.4 \end{equation}$$
   上側確率 75% 点は -0.67 であるので，
   $$\begin{equation} \frac{x_2 - 60}{20} = -0.67 \end{equation}$$
   $$\begin{equation} x_2 = 46.6 \end{equation}$$
   よって，四分位範囲は，
   $$\begin{equation} 73.4 - 46.6 = 26.8 \approx 27 \end{equation}$$

4. 答 : ④

   60点に対し，標準正規分布における点は 0.00 である． 標準正規分布は偶関数であることに注意して，

   $$\begin{align} P(X \ge 0) &= \int_{0}^{\infty}f_{X}(x)\,dx \\ &= \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}f_{X}(x)\,dx \\ &= 0.5 \end{align}$$
   よって，条件付き期待値は，
   $$\begin{align} E[X \mid X > 60] &= \int_{0}^{\infty}x\,f_{X \mid X \ge 0}(x)\,dx \\ &= \int_{0}^{\infty}x\,\frac{f_X(x)}{P(X \ge 0)}\,dx \\ &= \frac{1}{P(X \ge 0)} \int_{0}^{\infty}x\,f_X(x)\,dx \\ &= \frac{1}{P(X \ge 0)} \int_{0}^{\infty}x\,\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx \\ &= \frac{1}{P(X \ge 0)} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{\infty}x\,e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx \\ &= \frac{1}{P(X \ge 0)} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[-e^{-\frac{x^2}{2}}\right]_{0}^{\infty} \\ &= \frac{1}{P(X \ge 0)} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left[-e^{-\frac{x^2}{2}}\right]_{0}^{\infty} \\ &= \frac{1}{P(X \ge 0)} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\{0 - (-1)\} \\ &= \frac{1}{0.5} \frac{1}{\sqrt{2 \times 3.14}} \\ &= 2 \times \frac{1}{2.506} \\ &= 0.798 \end{align}$$
   点数に換算すると，
   $$\begin{equation} \frac{x - 60}{20} = 0.798 \end{equation}$$
   $$\begin{align} x &= 75.96 \\ &\approx 76.0 \end{align}$$