統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2015年06月21日 (日) 試験

問題の要約

• ある大学で 2回の英語能力テストを実施

• 全員が 1回目のテストを受験

• 2回目のテストを受験しない学生がいた

• 全学生 : 1500人

• 2回のテストを両方とも受験した学生 : 1400人

• 2回とも受験した学生の点数 : $(x_1, y_1), \ldots, (x_{1400}, y_{1400})$

• 1回しか受験しなかった学生の得点 : $x_{1401}, x_{1402}, \ldots, x_{1500}$

• 全学生が 2回受験したときの分布 :

  $$\begin{equation} (x, y) \sim N\left( \begin{pmatrix} \mu_X \\ \mu_Y \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} {\sigma_X}^2 & \rho \sigma_X \sigma_Y \\ \rho \sigma_X \sigma_Y & {\sigma_Y}^2 \end{pmatrix} \right) \end{equation}$$

1. 2回目のテストの平均値 $\bar{y}_A$ と 2回のテスト間の相関係数 $r_A$ を次のデータを用いて求めた．

   $$\begin{equation} (x_1, y_1), \ldots, (x_{1400}, y_{1400}) \end{equation}$$
   $\bar{y}_A$ と $r_{A}$ の記述として適切なものを選べ．

   ※選択肢は省略

2. 2回目のテストの平均値 $\bar{y}_A$ と 2回のテスト間の相関係数 $r_A$ を次のデータを用いて求めた．

   $$\begin{equation} (x_1, y_1), \ldots, (x_{1400}, y_{1400}), (x_{1401}, y^{*}_{1400}),\ldots ,(x_{1500}, y^{*}_{1500}) \end{equation}$$
   ただし，
   $$\begin{equation} y_i^{*} = a + bx_i~(i=1401,\ldots1500) \end{equation}$$
   $$\begin{equation} a,~b : (x_1, y_1), \ldots, (x_{1400}, y_{1400})~\text{を用いて推定} \end{equation}$$
   $\bar{y}_B$ と $r_{B}$ の記述として適切なものを選べ．

   ※選択肢は省略

解答

1. 答 : ⑤ ($\bar{y}_A$ は $\mu_Y$ を過大評価し，$r_A$ は $\rho$ を過小評価する)

   1回目の点数が低い人が，2回目に受験しない傾向にあったことから，$\bar{y}_A$ で $\mu_{Y}$ を推定すると， $\mu_{Y}$ の推定値は大きな値になってしまう．つまり，過大評価されてしまう．

   低い点数のサンプル数が少くなってしまったことから，直線を当てはめたとすると傾きが緩やかになるので，$r_A$ は $\rho$ を過小評価してしまう．

2. 答 : ② ($\bar{y}_B$ は $\mu_Y$ を偏りなく推定するが，$r_B$ は $\rho$ を過大評価する)

   予測値を含めたデータを用いて，，2回目のテストの平均値 $\bar{y}_B$ と 2回のテスト間の相関係数 $r_B$ を求めた．

   回帰直線で得られなかった2回目のテストの得点を予測し，2回目の平均点を求めているので，$\bar{y}_B$ は $\mu_Y$ を偏りなく推定する．

   また，$(x_{1401}, y^{*}_{1401}), \ldots, (x_{1500}, y^{*}_{1500})$ は，本来より強い相関のあるデータとなってしまう．よって，$r_B$ は $\rho$ を過大評価してしまうことになる．