統計検定 準1級 過去問 解答/解答例と解説
2015年06月21日 (日) 試験

問題の要約

• データ : $(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n),~y_i > 0,~i = 1, \ldots, n$

• モデル :

  $$\begin{equation} \log Y = \alpha + \beta x + \epsilon~~\cdots\cdots (1) \end{equation}$$
  ただし，
  $$\begin{equation} \alpha > 0,~\beta > 0 \end{equation}$$
  $$\begin{equation} \epsilon \sim N(0, \sigma^2) \end{equation}$$

1. $(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$ の散布図のうち (1) のモデルが当てはまるものはどれか．

   ※図は省略

2. $E[Y \mid x]$ を求めよ．

解答

1. 答 : ①

   $(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$ の散布図は，指数関数的なものを選ぶ．

2. 答 : ③

   $$\begin{align} Y &= \exp\left[\alpha + \beta x + \epsilon\right] \\ &= \exp\left[\alpha + \beta x\right] \cdot \exp[\epsilon] \end{align}$$
   であるので，
   $$\begin{align} E[Y \mid x] &= \exp\left[\alpha + \beta x\right] \cdot E\left[\exp[\epsilon]\right] \end{align}$$
   ここで，
   $$\begin{align} E\left[\exp[\epsilon]\right] &= \int_{-\infty}^{\infty} \exp[\epsilon]f(\epsilon)\,d\epsilon \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \exp[\epsilon] \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}\exp\left[-\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}\right]\,d\epsilon \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}\exp\left[-\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2} + \epsilon\right]\,d\epsilon \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}\exp\left[-\frac{\epsilon^2 - 2\sigma^2 \epsilon}{2\sigma^2}\right]\,d\epsilon \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}\exp\left[-\frac{\epsilon^2 - 2\sigma^2 \epsilon + \sigma^4 - \sigma^4}{2\sigma^2}\right]\,d\epsilon \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(\epsilon - \sigma^2)^2}{2\sigma^2} + \frac{\sigma^2}{2}\right]\,d\epsilon \\ &= \exp\left[\frac{\sigma^2}{2}\right] \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(\epsilon - \sigma^2)^2}{2\sigma^2}\right]\,d\epsilon \\ &= \exp\left[\frac{\sigma^2}{2}\right] \end{align}$$
   よって，
   $$\begin{align} E[Y \mid x] &= \exp\left[\alpha + \beta x\right] \cdot \exp\left[\frac{\sigma^2}{2}\right] \\ &= \exp\left[\alpha + \beta x + \frac{\sigma^2}{2}\right] \\ \end{align}$$