統計検定 準1級 例題集 解答/解答例と解説

論述問題 問1 [2]

設問の要約

  • K=3

  • X : 3種類のシールすべてを手に入れるまでに購入する菓子の個数

  • P(X=x) を求めよ．

  • E[X] を求めよ．

解答例

x−1 回目まで 2 種類のシールしか手に入らず，x 回目で 3 種類目のシールが手に入る場合の数は， 次の 3 とおりある．

(1) x−1回目までAまたはBで，x回目でCのシールが手に入った

(2) x−1回目までBまたはCで，x回目でAのシールが手に入った

(3) x−1回目までCまたはAで，x回目でBのシールが手に入った

x−1 回目まで 2 種類のシールしか手に入らなかったときの確率は，

(23)x−1−2(13)x−1
となる．第 2 項で，x−1 回目まで 1 種類のシールのみしか手に入らなかった場合の確率を除外している． x 回目で 3 種類目のシールが手に入る確率は，
{(23)x−1−2(13)x−1}×13
前述のように，3 通りの場合があるので，
P(X=x)=3×{(23)x−1−2(13)x−1}×13=(23)x−1−2(13)x−1
P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=0 であるので，
E[X]=∑x=3∞x{(23)x−1−2(13)x−1}=∑x=3∞x(23)x−1−2∑x=3∞x(13)x−1=∑x=0∞x(23)x−1−0(23)0−1−1(23)1−1−2(23)2−1−2{∑x=0∞x(13)x−1−0(13)0−1−1(13)1−1−2(13)2−1}=1(1−23)2−0−1−43−2{1(1−13)2−0−1−23}=9−0−1−43−2{94−0−1−23}=5.5

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