統計検定 準1級 例題集 解答/解答例と解説

選択問題及び部分記述問題 問16

問題の要約
  • X1,,XnN(μ,σ2),  i.i.d.

  • (μ,σ2) の同時事前密度関数 :

    π(μ,σ2)(σ2)2exp[12σ2(μ2+1)]

  • x=(x1,,xn) が観測されたときの (μ,σ2) の同時事後密度関数 :

    π(μ,σ2x)(σ2)(n/2+2)exp[12σ2{μ2+1+i=1n(xiμ)2}]
    x¯=i=1nxi

  • ギブス・サンプリングにより確率標本を発生させる. σ2(t),x を所与として,μ(t+1) を発生させるための周辺事後密度関数を求めよ.

解答

答 : ⑤

σ2(t),x を所与とする μ の周辺事後密度関数 π(μσ2(t),x) は,

π(μσ2(t),x)=π(μ,σ2(t)x)π(σ2(t)x)π(μ,σ2(t)x)(σ2(t))(n/2+2)exp[12σ2(t){μ2+1+i=1n(xiμ)2}]exp[12σ2(t){μ2+1+i=1n(xiμ)2}]=exp[12σ2(t){μ2+1+i=1nxi22μi=1nxi+nμ2}]exp[12σ2(t){μ22μi=1nxi+nμ2}]exp[12σ2(t){(1+n)μ22μi=1nxi}]=exp[n+12σ2(t){μ22μ1+ni=1nxi}]=exp[n+12σ2(t){μ22μ1+ni=1nxi+(1n+1i=1nxi)2(1n+1i=1nxi)2}]exp[n+12σ2(t){μ22μ1+ni=1nxi+(1n+1i=1nxi)2}]=exp[n+12σ2(t){μ11+ni=1nxi}2]=exp[12n+1σ2(t){μn1+nx¯}2]
よって,μ(t+1) を発生させる分布は,平均 nn+1x¯,分散 σ2(t)n+1 の正規分布である.