統計検定準1級例題集解答/解答例と解説

選択問題及び部分記述問題問10

問題の要約

$W(t),~t \ge 0$ : 標準ブラウン運動
$W(1) = 1.0$ が与えられた下での $W(0.5)$ の条件つき期待値を求めよ．
$W(1) = 1.0$ が与えられた下での $W(0.5)$ の条件つき分散を求めよ．

解答

答 : ④

ブラウン運動の数学的に厳密なモデルとして，ウィーナー過程と呼ばれる連続型確率過程がある． $W_t \equiv W(t)$ と書くことにし，ブラウン運動(ウィーナー過程)の定義は次の通りである．

$W_{0} = 0$
$W_{t}$ は連続である．
$W_{t}$ は独立増分を持つ．すなわち， $0 \le s \le t \le s' \le t'$ であるならば， $W_{t} - W_{s}$ と $W_{t'} - W_{s'}$ とが独立な確率変数となる．
$0 \le s < t$ なる任意の $s,~t$ に対して， $W_{t} - W_{s}$ は正規分布 $N(0, \sigma^2(t - s))$ に従う．

また，

W_{t} \sim N (0, σ^{2} t)

$\begin{equation} W_t~\sim~N(0, \sigma^2 t) \end{equation}$

E [W_{t}] = 0

$\begin{equation} \mathrm{E}[W_t] = 0 \end{equation}$

V [W_{t}] = σ^{2} t

$\begin{equation} \mathrm{V}[W_t] = \sigma^2 t \end{equation}$

C o v [W_{s}, W_{t}] = σ^{2} min {s, t}

$\begin{equation} \mathrm{Cov}[W_s, W_t] = \sigma^2 \min\{s, t\} \end{equation}$

である．ただし，標準ブラウン運動では，

σ^{2} = 1

$\sigma^2 = 1$ である．

ところで，

(X, Y) \sim N ((\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}), (\begin{matrix} {σ_{X}}^{2} & σ_{X Y} \\ σ_{X Y} & {σ_{Y}}^{2} \end{matrix}))

$\begin{equation} (X, Y)~\sim~ N\left( \begin{pmatrix} \mu_X \\ \mu_Y \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} {\sigma_X}^2 & {\sigma_{XY}} \\ {\sigma_{XY}} & {\sigma_Y}^2 \end{pmatrix} \right) \end{equation}$

のとき，

Y ∣ X \sim N (μ_{Y} + \frac{σ_{X Y}}{{σ_{X}}^{2}} (X - μ_{X}), {σ_{Y}}^{2} - \frac{{σ_{X Y}}^{2}}{{σ_{X}}^{2}})

$\begin{equation} Y \mid X~\sim~ N\left( \mu_Y + \frac{\sigma_{XY}}{{\sigma_X}^2}(X - \mu_X),~ {\sigma_Y}^2 - \frac{{\sigma_{XY}}^2}{{\sigma_X}^2} \right) \end{equation}$

であった．

(W_{1}, W_{0.5}) \sim N ((\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{matrix}))

$\begin{equation} (W_{1}, W_{0.5})~\sim~ N\left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 \end{pmatrix} \right) \end{equation}$

であるから，

\begin{aligned} W_{0.5} ∣ W_{1} & \sim N (0 + \frac{0.5}{1} (W_{1} - 0), 0.5 - \frac{{0.5}^{2}}{1}) \\ \sim N (\frac{W_{1}}{2}, 0.25) \end{aligned}

$\begin{align} W_{0.5} \mid W_{1}~&\sim~N\left(0 + \frac{0.5}{1}(W_{1} - 0),~0.5 - \frac{0.5^2}{1}\right) \\ &\sim~N\left(\frac{W_{1}}{2},~0.25\right) \end{align}$

ここで，

W_{1} = 1.0

$W_{1} = 1.0$ とすると，

W_{0.5} ∣ W_{1} = 1.0 \sim N (0.5, 0.25)

$\begin{equation} W_{0.5} \mid W_{1} = 1.0~\sim~N\left(0.5,~0.25\right) \end{equation}$

統計検定 準1級 例題集 解答/解答例と解説

選択問題及び部分記述問題 問10

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