統計検定 準1級 例題集 解答/解答例と解説

問題の要約

• 7人が集まり麻雀 (4人ゲーム) を 7ゲーム行う．

• どの 2人の参加者のペアについても，7ゲーム中で対戦する回数が等しくなるような組合せを考える．

1. 各参加者の参加するゲーム数 (ア)，参加者の各ペアの対戦数 (イ) を求めよ．

2. 空欄を埋めよ．

   1回戦	(1, 4, 6, 7)
   2回戦	(2, 4, 5, 6)
   3回戦	(1, 3, 4, 5)
   4回戦	(1, 2, 5, 7)
   5回戦	(3, 5, 6, 7)
   6回戦	(?, ?, ?, ?)
   7回戦	(?, ?, ?, ?)

解答

1. 答 : ④

   (ア) 各参加者の参加数rゲーム数

   「どの2人の参加者のペアについても，7ゲーム中で対戦する回数が等しくなるような組み合わせを考える」とあることから， どの参加者も同じ回数のゲームを行うことになる．

   1ゲームにつき4人参加するゲームであることから，

   $$\begin{equation} [\text{ブロックの数}~7] \times [\text{ブロックのサイズ}~4] = 28 \end{equation}$$
   28の座席があり，これを参加者7人で平等に割り当てることを考えると，
   $$\begin{equation} 28 \div [\text{参加者の数} 7] = 4 \end{equation}$$
   となり，どの参加者も 4 回ゲームすることがわかる．

   任意の二人が対戦する回数を $\lambda$ とおく． 例えば参加者1 に注目すると，参加者1 が含まれる4回のゲームでは， 参加者1以外の3人の対戦者が全部で $4 \times 3 = 12$ 人必要である． この 12 人は，参加者2 ～ 参加者7 の 6 人から選ばれるが， 参加者2 ～ 参加者7 のどの参加者も，参加者1 との対戦数が等しいことから，$12 = 6 \times \lambda$ となる． よって，対戦数は $\lambda = 2$ となる．

2. 答 : ⑤

   参加者1 に注目する． 既に定まっている1回戦 ～ 5回戦を見ると，参加者1 は既に3回ゲームを行っている． 参加者1 と 2回対戦しているのは，参加者4, 5, 6である． よって，6回戦または 7回戦のいずれかで，参加者1 は参加者2，3，6と対戦することになる． つまり，6回戦と 7回戦のいずれかは，$(1, 2, 3, 6)$ でなければならない． そのような選択肢は⑤しかない．

   6回戦	(2, 3, 4, 7)
   7回戦	(1, 2, 3, 6)