統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2017年11月26日 (日) 試験

統計数理問4 [2]

設問の要約

$X$ と $Z$ の相関係数を求めよ

解答例

$X$ と $Z$ の相関係数を $\rho$ とおく．

X \sim N (0, 1)

$\begin{equation} X \sim N(0,~1) \end{equation}$

Z \sim N (a, k^{2} + 1)

$\begin{equation} Z \sim N(a,~k^2 + 1) \end{equation}$

\begin{aligned} C o v [X, Z] & = E [X Z] - E [X] E [Z] \\ = E [X Z] \\ = E [X (a + k X + Y)] \\ = E [a X + k X^{2} + X Y] \\ = a E [X] + k E [X^{2}] + E [X Y] \\ = a E [X] + k {V [X] + (E [X])^{2}} + E [X] E [Y] \\ = k \end{aligned}

$\begin{align} Cov[X, Z] &= E[XZ] - E[X]E[Z] \\ &= E[XZ] \\ &= E[X(a + kX + Y)] \\ &= E[aX + kX^2 + XY] \\ &= a E[X] + kE[X^2] + E[XY] \\ &= a E[X] + k\{V[X] + (E[X])^2\} + E[X]E[Y] \\ &= k \end{align}$

\begin{aligned} ρ & = \frac{C o v [X, Z]}{\sqrt{V [X]} \sqrt{V [Z]}} \\ = \frac{k}{\sqrt{1} \sqrt{k^{2} + 1}} \\ = \frac{k}{\sqrt{k^{2} + 1}} \end{aligned}

$\begin{align} \rho &= \dfrac{Cov[X, Z]}{\sqrt{V[X]}\sqrt{V[Z]}} \\ &= \dfrac{k}{\sqrt{1}\sqrt{k^2 + 1}} \\ &= \dfrac{k}{\sqrt{k^2 + 1}} \end{align}$

統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説 2017年11月26日 (日) 試験

統計数理 問4 [2]

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解答例

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