統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2017年11月26日 (日) 試験

統計数理問3 [1]

設問の要約

$Po(\lambda)$ は， $Bin(n, p)$ で， $\lambda = np, n \to \infty$ としたときの極限の分布であることを示せ．

解答例

$p = \dfrac{\lambda}{n}$ であるので，

\begin{aligned} lim_{n \to \infty}_{n} C_{x} p^{x} (1 - p)^{n - x} \\ = lim_{n \to \infty} \frac{n!}{x! (n - x)!} {(\frac{λ}{n})}^{x} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n - x} \\ = lim_{n \to \infty} \frac{n!}{x! (n - x)!} \frac{λ^{x}}{n^{x}} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n} {(1 - \frac{λ}{n})}^{- x} \\ = \frac{λ^{x}}{x!} lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n - x)!} \frac{1}{n^{x}} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n} {(1 - \frac{λ}{n})}^{- x} \\ = \frac{λ^{x}}{x!} lim_{n \to \infty} \frac{n (n - 1) \dots 2 \cdot 1}{(n - x) (n - x - 1) \dots 2 \cdot 1} \frac{1}{n^{x}} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n} {(1 - \frac{λ}{n})}^{- x} \\ = \frac{λ^{x}}{x!} lim_{n \to \infty} n (n - 1) \dots {n - (x - 1)} \frac{1}{n^{x}} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n} {(1 - \frac{λ}{n})}^{- x} \\ = \frac{λ^{x}}{x!} lim_{n \to \infty} 1 \cdot (1 - \frac{1}{n}) \dots (1 - \frac{x - 1}{n}) {(1 - \frac{λ}{n})}^{n} {(1 - \frac{λ}{n})}^{- x} \\ = \frac{λ^{x}}{x!} lim_{n \to \infty} 1 \cdot (1 - \frac{1}{n}) \dots (1 - \frac{x - 1}{n}) {(1 + \frac{- λ}{n})}^{n} {(1 - \frac{λ}{n})}^{- x} \\ = \frac{λ^{x}}{x!} lim_{n \to \infty} 1 \cdot 1 \dots 1 \cdot e^{- λ} \cdot 1^{- x} \\ = \frac{λ^{x}}{x!} e^{- λ} \end{aligned}

$\begin{align} &\lim_{n \to \infty}{}_{n}C_x p^x (1 - p)^{n-x} \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac{n!}{x! (n - x)!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^x \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-x} \\ &= \lim_{n \to \infty}\frac{n!}{x! (n - x)!} \frac{\lambda^x}{n^x} \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{-x} \\ &= \frac{\lambda^x}{x!}\lim_{n \to \infty}\frac{n!}{(n - x)!} \frac{1}{n^x} \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{-x} \\ &= \frac{\lambda^x}{x!}\lim_{n \to \infty}\frac{n(n-1) \cdots 2 \cdot 1}{(n - x)(n - x - 1) \cdots 2 \cdot 1} \frac{1}{n^x} \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{-x} \\ &= \frac{\lambda^x}{x!}\lim_{n \to \infty}n(n-1) \cdots \{n - (x - 1)\} \frac{1}{n^x} \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{-x} \\ &= \frac{\lambda^x}{x!}\lim_{n \to \infty}1 \cdot \left(1-\frac{1}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{x - 1}{n}\right) \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n}\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{-x} \\ &= \frac{\lambda^x}{x!}\lim_{n \to \infty}1 \cdot \left(1-\frac{1}{n}\right) \cdots \left(1 - \frac{x - 1}{n}\right) \left(1 + \frac{-\lambda}{n}\right)^{n}\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{-x} \\ &= \frac{\lambda^x}{x!}\lim_{n \to \infty}1 \cdot 1 \cdots 1 \cdot e^{-\lambda} \cdot 1^{-x} \\ &= \frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda} \end{align}$

統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説 2017年11月26日 (日) 試験

統計数理 問3 [1]

設問の要約

解答例

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