統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2017年11月26日 (日) 試験

統計数理問5 [1]

設問の要約

$V = Z^2 \sim \chi^2(1)$
$V$ の確率密度関数が， $v > 0$ に対し，次のようになることを示せ．
$f (v) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{1}{\sqrt{v}} e^{- \frac{v}{2}}$
$\begin{equation} f(v) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{v}}e^{-\frac{v}{2}} \end{equation}$

解答例

$v = z^2$ より， $v > 0$ であるので，

z = \sqrt{v}

$\begin{equation} z = \sqrt{v} \end{equation}$

\frac{d z}{d v} = \frac{1}{2 \sqrt{v}}

$\begin{equation} \frac{dz}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{v}} \end{equation}$

\begin{aligned} F_{V} (v) & = P (V \leq v) \\ = P (Z^{2} \leq v) \\ = P (- \sqrt{v} \leq Z \leq \sqrt{v}) \\ = 2 P (0 \leq Z \leq \sqrt{v}) \\ = 2 {P (Z \leq \sqrt{v}) - P (Z \leq 0)} \\ = 2 {F_{Z} (\sqrt{v}) - \frac{1}{2}} \\ = 2 F_{Z} (\sqrt{v}) - 1 \end{aligned}

$\begin{align} F_V(v) &= P(V \le v) \\ &= P(Z^2 \le v) \\ &= P(-\sqrt{v} \le Z \le \sqrt{v}) \\ &= 2 P(0 \le Z \le \sqrt{v}) \\ &= 2 \{P(Z \le \sqrt{v}) - P(Z \le 0)\} \\ &= 2 \left\{F_Z(\sqrt{v}) - \frac{1}{2} \right\} \\ &= 2 F_Z(\sqrt{v}) - 1 \\ \end{align}$

両辺を

v

$v$ で微分すると，

\begin{aligned} f (v) & = 2 φ (\sqrt{v}) \frac{d z}{d v} \\ = 2 \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{(\sqrt{v})^{2}}{2}} \frac{1}{2 \sqrt{v}} \\ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{1}{\sqrt{v}} e^{- \frac{v}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} f(v) &= 2 \varphi(\sqrt{v})\frac{dz}{dv} \\ &= 2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(\sqrt{v})^2}{2}} \frac{1}{2\sqrt{v}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{v}}e^{-\frac{v}{2}} \end{align}$

統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説 2017年11月26日 (日) 試験

統計数理 問5 [1]

設問の要約

解答例

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統計数理問5 [1]