統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説
2017年11月26日 (日) 試験

統計数理 問2 [3]

設問の要約
  • Xmax の確率密度関数を求めよ

  • θ=n+1nXmaxθ の不偏推定量であることを示せ

解答例

X の分布関数 F(x)は,

FX(x)=0xf(u;θ)du=0x1θdu=1θ[u]0x=xθ
Xmax の分布関数を FXmax(x) とおくと,
FXmax(x)=P(Xmaxx)=P(X1x,,Xnx)=P(X1x)P(Xnx)=F(x)F(x)={F(x)}n
よって,Xmax の確率密度関数を fXmax は,
fXmax(x)=n{F(x)}n1f(x)=n{xθ}n11θ=nxn1θn
E[θ]=E[n+1nXmax]=n+1nE[Xmax]=n+1n0θxnxn1θndx=n+1nnθn0θxndx=n+1θn0θxndx=n+1θn[1n+1xn+1]0θ=n+1θn1n+1θn+1=θ
よって,θθ の不偏推定量である.