統計検定 1級過去問解答/解答例と解説
2017年11月26日 (日) 試験

統計応用問1 [2]

設問の要約

$\bm{x}$ : 観測データ
対数尤度関数 $l(\alpha, \beta; \bm{x})$ を求めよ

解答例

\begin{aligned} l (α, β; x) & = \log \prod_{i = 1}^{n} \frac{1}{β^{α} Γ (α)} {x_{i}}^{α - 1} e^{- \frac{x_{i}}{β}} \\ = \log {(\frac{1}{β^{α} Γ (α)})}^{n} \prod_{i = 1}^{n} {x_{i}}^{α - 1} e^{- \frac{x_{i}}{β}} \\ = \log {(\frac{1}{β^{α} Γ (α)})}^{n} + \log \prod_{i = 1}^{n} {x_{i}}^{α - 1} e^{- \frac{x_{i}}{β}} \\ = - n \log β^{α} Γ (α) + \sum_{i = 1}^{n} \log {x_{i}}^{α - 1} e^{- \frac{x_{i}}{β}} \\ = - n α \log β - n \log Γ (α) + \sum_{i = 1}^{n} \log {x_{i}}^{α - 1} + \sum_{i = 1}^{n} \log e^{- \frac{x_{i}}{β}} \\ = - n α \log β - n \log Γ (α) + (α - 1) \sum_{i = 1}^{n} \log x_{i} - \frac{1}{β} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \end{aligned}

$\begin{align} l(\alpha, \beta; \bm{x}) &= \log \prod_{i=1}^{n}\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}{x_i}^{\alpha - 1}e^{-\frac{x_i}{\beta}} \\ &= \log \left(\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}\right)^n\prod_{i=1}^{n}{x_i}^{\alpha - 1}e^{-\frac{x_i}{\beta}} \\ &= \log \left(\frac{1}{\beta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}\right)^n + \log\prod_{i=1}^{n}{x_i}^{\alpha - 1}e^{-\frac{x_i}{\beta}} \\ &= -n\log \beta^{\alpha}\Gamma(\alpha) + \sum_{i=1}^{n}\log{x_i}^{\alpha - 1}e^{-\frac{x_i}{\beta}} \\ &= -n\alpha\log\beta -n\log \Gamma(\alpha) + \sum_{i=1}^{n}\log{x_i}^{\alpha - 1} + \sum_{i=1}^{n}\log e^{-\frac{x_i}{\beta}} \\ &= -n\alpha\log\beta -n\log \Gamma(\alpha) + (\alpha - 1)\sum_{i=1}^{n}\log{x_i} - \frac{1}{\beta}\sum_{i=1}^{n}x_i \\ \end{align}$

統計検定 1級 過去問 解答/解答例と解説 2017年11月26日 (日) 試験

統計応用 問1 [2]

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