第2講 確率分布

非復元抽出

X1,X2,,Xn を大きさ N の有限母集団からの標本とする.

E[Xi]=μ
V[Xi]=σ2
標本平均 X¯ の平均と分散
E[X¯]=μ
V[X¯]=NnN1σ2n
ここで,NnN1 は有限母集団修正である.

σ2 が未知のとき,

S2=1ni=1n(XiX¯)2
σ2 の推定量として用いる.
E[S2]=NN1n1nσ2

補足1: V[X¯] の計算

V[X¯]=V[1ni=1nXi]=1n2V[i=1nXi]=1n2{i=1nV[Xi]+ijCov[Xi,Xj]}=1n2{nV[X1]+n(n1)Cov[X1,X2]}=1nV[X1]+n1nCov[X1,X2]
P(X1=x1,X2=x2)=1N(N1)
Cov[X1,X2]=E[X1X2]E[X1]E[X2]=1N(N1)θiθjθiθj(i=1NθiN)(i=1NθiN)=(i=1Nθi)2i=1Nθi2N(N1)(i=1Nθi)2N2=N(i=1Nθi)2Ni=1Nθi2N2(N1)(N1)(i=1Nθi)2N2(N1)=Ni=1Nθi2+(i=1Nθi)2N2(N1)=1N1{1Ni=1Nθi21N2(i=1Nθi)2}=1N1{1Ni=1Nθi2(1Ni=1Nθi)2}=1N1i=1N(θiθ¯)2=1N1σ2
よって,
V[X¯]=1nV[X1]+n1nCov[X1,X2]=1nσ2n1n1N1σ2=(N1)σ2(n1)σ2n(N1)=(Nn)σ2n(N1)=NnN1σ2n

補足2: E[S2] の計算

E[S2]=E[1ni=1n(XiX¯)2]=E[1ni=1n{Xi22X¯Xi+(X¯)2}]=E[1ni=1nXi22X¯1ni=1nXi+(X¯)21ni=1n1}]=E[1ni=1nXi22X¯X¯+(X¯)2}]=E[1ni=1nXi2(X¯)2]=1ni=1nE[Xi2]E[(X¯)2]=1ni=1n(Var[Xi2]+E[Xi]2)(V[X¯]+E[X¯]2)=1ni=1n(σ2+μ2)(NnN1σ2n+μ2)=1nn(σ2+μ2)(NnN1σ2n+μ2)=σ2+μ2NnN1σ2nμ2=NN1n1nσ2