第2講確率分布

負の二項分布

事象 $A$ が起こる確率が $p$ の試行を独立に繰り返すとき， $n$ 回目の $A$ が起こるまでに $A$ 以外の事象が起こる回数 $X$ は負の二項分布 $NB(n, p)$ に従う．

X \sim N B (n, p)

$\begin{equation} X \sim NB(n, p) \end{equation}$

\begin{aligned} P (X = k) & =_{n - 1 + k} C_{k} p^{n} (1 - p)^{k} k = 0, 1, 2, \dots \\ =_{- n} C_{k} p^{n} (p - 1)^{k} \end{aligned}

$\begin{align} P(X=k) &= {}_{n-1+k}C_{k}p^{n}(1-p)^{k}~~~~k=0,1,2,\ldots \\ &= {}_{-n}C_{k}p^{n}(p-1)^{k} \end{align}$

E [X] = \frac{n (1 - p)}{p}

$\begin{equation} E[X] = \frac{n(1-p)}{p} \\ \end{equation}$

V [X] = \frac{n (1 - p)}{p^{2}}

$\begin{equation} V[X] = \frac{n(1-p)}{p^{2}} \end{equation}$

\begin{aligned} M_{X} (t) & = \sum_{k = 0}^{\infty} e^{t k}_{- n} C_{k} p^{n} (- q)^{k} \\ = p^{n} \sum_{k = 0}^{\infty}_{- n} C_{k} (- q e^{t})^{k} \\ = p^{n} (1 - q e^{t})^{- n} \end{aligned}

$\begin{align} M_X(t) &= \sum_{k=0}^{\infty}e^{tk}{}_{-n}C_{k}p^{n}(-q)^{k} \\ &= p^{n}\sum_{k=0}^{\infty}{}_{-n}C_{k}(-qe^t)^{k} \\ &= p^{n}(1 - qe^t)^{-n} \end{align}$

幾何分布との関係

$X_{i} \sim Ge(p)~~(i=1,\ldots,n),~~X=X_{1}+\cdots+X_{n}$ のとき，

X_{i} \sim N B (1, p)

$\begin{equation} X_i \sim NB(1,p) \end{equation}$

X \sim N B (n, p)

$\begin{equation} X \sim NB(n,p) \end{equation}$

再生性

$X \sim NB(n_{1}, p),~~Y \sim NB(n_{2}, p)$ で独立のとき，

X + Y \sim N B (n_{1} + n_{2}, p)

$\begin{equation} X + Y \sim NB(n_{1}+n_{2}, p) \end{equation}$

第2講 確率分布

負の二項分布

幾何分布との関係

再生性

第2講確率分布