第2講確率分布

$\chi^{2}$ 分布

$X_{1},\ldots,X_{n} \sim N(0,1),~i.i.d.,~~X = X_{1}^{2} + \cdots + X_{n}^{2}$ のとき，

\begin{aligned} X & \sim χ^{2} (n) \\ \sim Γ (\frac{n}{2}, \frac{1}{2}) \end{aligned}

$\begin{align} X &\sim \chi^{2}(n) \\ &\sim \varGamma\left(\frac{n}{2}, \frac{1}{2}\right) \end{align}$

f (x; n) = \frac{{(\frac{1}{2})}^{\frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} x^{\frac{n}{2} - 1} e^{- \frac{1}{2} x}

$\begin{equation} f(x; n) = \frac{\ds\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{n}{2}}}{\ds \varGamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{1}{2}x} \end{equation}$

E [X] = \frac{n / 2}{1 / 2} = n

$\begin{equation} E[X] = \dfrac{n/2}{1/2} = n \end{equation}$

V [X] = \frac{n / 2}{(1 / 2)^{2}} = 2 n

$\begin{equation} V[X] = \dfrac{n/2}{(1/2)^2} = 2n \end{equation}$

M_{X} (t) = {(\frac{1 / 2}{1 / 2 - t})}^{\frac{n}{2}} = \frac{1}{(1 - 2 t)^{\frac{n}{2}}}

$\begin{equation} M_{X}(t) = \left(\dfrac{1/2}{1/2 - t}\right)^{\frac{n}{2}} = \frac{1}{(1 - 2t)^{\frac{n}{2}}} \end{equation}$

$\chi^{2}$ 分布の性質

$X_{1},\ldots,X_{n} \sim N(\mu,\sigma^{2}),~i.i.d.$ のとき，

χ^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}}{σ^{2}} = \frac{(n - 1) U^{2}}{σ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

$\begin{equation} \chi^{2} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\bar{X})^{2}}{\sigma^{2}} = \frac{(n-1)U^{2}}{\sigma^{2}}~~\sim \chi^{2}(n-1) \end{equation}$

ただし，

\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\begin{equation} \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} \end{equation}$

U^{2} = \frac{1}{n - 1} {(X_{1} - \bar{X})^{2} + \dots + (X_{n} - \bar{X})^{2}}

$\begin{equation} U^{2} = \frac{1}{n-1}\left\{(X_{1}-\bar{X})^{2}+\cdots+(X_{n}-\bar{X})^{2}\right\} \end{equation}$

厳密な証明ではないが，イメージとしては次のようになる．

\frac{(n - 1) U^{2}}{σ^{2}} = {(\frac{X_{1} - \bar{X}}{σ^{2}})}^{2} + \dots + {(\frac{X_{n} - \bar{X}}{σ^{2}})}^{2}

$\begin{equation} \frac{(n-1)U^{2}}{\sigma^{2}} = \left(\frac{X_{1}-\bar{X}}{\sigma^{2}}\right)^{2} + \ldots + \left(\frac{X_{n}-\bar{X}}{\sigma^{2}}\right)^{2} \end{equation}$

ここで，

\frac{X_{i} - \bar{X}}{σ^{2}} \sim N (0, 1)

$\begin{equation} \frac{X_{i}-\bar{X}}{\sigma^{2}} \sim N(0, 1) \end{equation}$

である．また，

\bar{X}

$\bar{X}$ という制約を 1 つあることから，自由度は 1 減少し，

n - 1

$n - 1$ となる．

補足1: $\ds X^{2} \sim \varGamma\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ の証明

標準正規分布の分布関数を $F(x)$ とし，その密度関数を $f(x)$ とする．

F (x) = P (X \leq x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t

$\begin{equation} F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt \end{equation}$

F^{'} (x) = f (x)

$\begin{equation} F'(x) = f(x) \end{equation}$

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp [- \frac{x^{2}}{2}]

$\begin{equation} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left[- \frac{x^2}{2}\right] \end{equation}$

ここで，

Y = X^{2}

$Y = X^2$ として変数変換する．

\frac{d y}{d x} = 2 x = 2 \sqrt{y}

$\begin{equation} \frac{dy}{dx} = 2x = 2 \sqrt{y} \end{equation}$

であるから，

\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 \sqrt{y}}

$\begin{equation} \frac{dx}{dy} = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \end{equation}$

Y

$Y$ の分布関数を

G (y)

$G(y)$ とし，その密度関数を

g (y)

$g(y)$ とする．

\begin{aligned} G (y) & = P (Y \leq y) \\ = P (X^{2} \leq y) \\ = P (- \sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}) \\ = F (\sqrt{y}) - F (- \sqrt{y}) \\ = F (\sqrt{y}) + F (\sqrt{y}) \\ = 2 F (\sqrt{y}) \end{aligned}

$\begin{align} G(y) &= P(Y \le y) \\ &= P(X^2 \le y) \\ &= P(-\sqrt{y} \le X \le \sqrt{y}) \\ &= F(\sqrt{y}) - F(-\sqrt{y}) \\ &= F(\sqrt{y}) + F(\sqrt{y}) \\ &= 2\,F(\sqrt{y}) \\ \end{align}$

\begin{aligned} G^{'} (y) & = 2 F^{'} (\sqrt{y}) \\ g (y) & = 2 f (\sqrt{y}) \frac{1}{2 \sqrt{y}} \\ = 2 \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp [- \frac{y}{2}] \frac{1}{2 \sqrt{y}} \\ = \frac{{(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{π}} y^{\frac{1}{2} - 1} \exp [- \frac{1}{2} y] \\ = \frac{{(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{2}}}{Γ (\frac{1}{2})} y^{\frac{1}{2} - 1} \exp [- \frac{1}{2} y] \end{aligned}

$\begin{align} G'(y) &= 2\,F'(\sqrt{y}) \\ g(y) &= 2\,f(\sqrt{y})\,\frac{1}{2 \sqrt{y}} \\ &= 2\,\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left[- \frac{y}{2}\right] \frac{1}{2\sqrt{y}} \\ &= \frac{\ds\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi}} y^{\frac{1}{2} - 1} \exp\left[- \frac{1}{2}\,y\right] \\ &= \frac{\ds\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{\varGamma\left(\dfrac{1}{2}\right)} y^{\frac{1}{2} - 1} \exp\left[- \frac{1}{2}\,y\right] \end{align}$

よって，

g (y)

$g(y)$ は

Γ (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

$\ds\varGamma\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ の密度関数である．

第2講 確率分布

χ2\chi^{2} 分布

χ2\chi^{2} 分布の性質

補足1: X2∼Γ(12,12)\ds X^{2} \sim \varGamma\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) の証明

第2講確率分布

$\chi^{2}$ 分布

$\chi^{2}$ 分布の性質

補足1: $\ds X^{2} \sim \varGamma\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ の証明