第2講 確率分布

ポアソン分布

二項分布で,n, p0, np=λ としたとき,事象の発生回数 X はポアソン分布 Po(λ) に従う.

XPo(λ)
P(X=k)=λkk!eλ    k=0,1,2,
E[X]=λ
E[X(X1)]=λ2
V[X]=λ
Mx(t)=eλ(1et)

二項分布のポアソン近似

XBin(n, λn)
limnP(X=k)    =limnnCk(λn)k(1λn)nk    =limnn!k!(nk)!λknk(1λn)nk    =limnλkk!nnn1nnk+1n(1λn)k(1λn)n    =λkk!eλ
これをポアソンの少数の法則という.

再生性

XPo(λ1),  YPo(λ2)で独立のとき,

X+YPo(λ1+λ2)

補足1: MX(t) の計算

Mx(t)=E[eXt]=k=0nektλkk!eλ=eλk=0n(λet)kk!=eλeλet=eλ(1et)