第6講各種データ解析法

因子分析

因子軸の回転

因子軸の回転による解釈は，分析者の主観に依存する．そこで，いくつかの機械的な回転方法が提案されているが，ここでは，直交回転のヴァリマックス法を説明する．直交回転とは，回転後の因子も直交している回転のことである．

$A = (a_{jk})$ : 回転前の因子負荷量

$B = (b_{jk})$ : 回転後の因子負荷量

$T = (t_{jk})$ : 回転行列

(\begin{matrix} b_{11} & \dots & b_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ b_{p 1} & \dots & b_{p m} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{p 1} & \dots & a_{p m} \end{matrix}) (\begin{matrix} t_{11} & \dots & t_{1 m} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ t_{p 1} & \dots & t_{p m} \end{matrix})

$\begin{equation} \begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{p1} & \cdots & b_{pm} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{p1} & \cdots & a_{pm} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t_{11} & \cdots & t_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ t_{p1} & \cdots & t_{pm} \end{pmatrix} \end{equation}$

回転後の因子負荷行列

B

$B$ の第

k

$k$ 列において，因子負荷量の

{b_{j k}}^{2}

${b_{jk}}^2$ の分散

{σ_{k}}^{2}

${\sigma_k}^2$ を求めると，

\begin{aligned} {σ_{k}}^{2} & = V [{b_{k}}^{2}] \\ = E [({b_{k}}^{2})^{2}] - {(E [{b_{k}}^{2}])}^{2} \\ = \frac{1}{p} \sum_{j = 1}^{p} ({b_{j k}}^{2})^{2} - {(\frac{1}{p} \sum_{j = 1}^{p} {b_{j k}}^{2})}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} {\sigma_k}^2 &= V[{b_{k}}^2] \\ &= E[({b_{k}}^2)^2] - \left(E[{b_{k}}^2]\right)^2 \\ &= \frac{1}{p}\sum_{j=1}^p ({b_{jk}}^2)^2 - \left(\frac{1}{p}\sum_{j=1}^p {b_{jk}}^2\right)^2 \end{align}$

{σ_{k}}^{2}

${\sigma_k}^2$ を大きくすることは，因子負荷量の絶対値が 0 に近いものと 0 から遠いものと分かれることを意味する．すべての

k = 1, \dots, m

$k = 1, \ldots , m$ に対して合計すると次のようになる．

\begin{aligned} σ^{2} & = \sum_{k = 1}^{m} {σ_{k}}^{2} \\ = \sum_{k = 1}^{m} {\frac{1}{p} \sum_{j = 1}^{p} ({b_{j k}}^{2})^{2} - {(\frac{1}{p} \sum_{j = 1}^{p} {b_{j k}}^{2})}^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma^2 &= \sum_{k=1}^{m}{\sigma_k}^2 \\ &= \sum_{k=1}^m\left\{\frac{1}{p}\sum_{j=1}^p ({b_{jk}}^2)^2 - \left(\frac{1}{p}\sum_{j=1}^p {b_{jk}}^2\right)^2\right\} \end{align}$

σ^{2}

$\sigma^2$ を最大化するような回転方法を素ヴァリマックス法という．さらに，共通性

{h_{j}}^{2} = σ_{j j} - {d_{j}}^{2}

${h_j}^2 = \sigma_{jj} - {d_j}^2$ で因子負荷量を補正すると，

V = \sum_{k = 1}^{m} {\frac{1}{p} \sum_{j = 1}^{p} {(\frac{{b_{j k}}^{2}}{{h_{j}}^{2}})}^{2} - {(\frac{1}{p} \sum_{j = 1}^{p} \frac{{b_{j k}}^{2}}{{h_{j}}^{2}})}^{2}}

$\begin{equation} V = \sum_{k=1}^m\left\{\frac{1}{p}\sum_{j=1}^p \left(\frac{{b_{jk}}^2}{{h_j}^2}\right)^2 - \left(\frac{1}{p}\sum_{j=1}^p \frac{{b_{jk}}^2}{{h_j}^2}\right)^2\right\} \end{equation}$

V

$V$ を最大化するような回転方法を基準ヴァリマックス法という．単にヴァリマックス法といえば，基準ヴァリマックス法を指す．

$V$ を最大化する回転角は，反復的なアルゴリズムによって求めるが，ここでは割愛する．

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因子軸の回転

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