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$L_8$ 直交表

	1	2	3	4	5	6	7
1	1	1	1	1	1	1	1
2	1	1	1	2	2	2	2
3	1	2	2	1	1	2	2
4	1	2	2	2	2	1	1
5	2	1	2	1	2	1	2
6	2	1	2	2	1	2	1
7	2	2	1	1	2	2	1
8	2	2	1	2	1	1	2
	$a$	$b$	$ab$	$c$	$ac$	$bc$	$abc$

主効果モデルに対する直交表の性質

$L_8$ 直交表において，列番号 $1,2,4,7$ を選んで因子 $A,B,C,D$ を割り付けた場合を考える．

Y_{i j k l} = μ + A_{i} + B_{j} + C_{k} + D_{l} + ε_{i j k l}

$\begin{equation} Y_{ijkl} = \mu + A_{i} + B_{j} + C_{k} + D_{l} + \varepsilon_{ijkl} \end{equation}$

\sum_{i = 1}^{2} A_{i} = \sum_{j = 1}^{2} B_{j} = \sum_{k = 1}^{2} C_{k} = \sum_{l = 1}^{2} D_{l} = 0

$\begin{equation} \sum_{i=1}^{2}A_{i} = \sum_{j=1}^{2}B_{j} = \sum_{k=1}^{2}C_{k} = \sum_{l=1}^{2}D_{l} = 0 \end{equation}$

因子

A

$A$ の水準

A_{1}

$A_1$ の値は次の式によって不偏推定できる．

A_{1} = \frac{1}{8} (Y_{1111} + Y_{1122} + Y_{1212} + Y_{1221} - Y_{2112} - Y_{2121} - Y_{2211} - Y_{2222})

$\begin{equation} A_1 = \frac{1}{8}(Y_{1111} + Y_{1122} + Y_{1212} + Y_{1221} - Y_{2112} - Y_{2121} - Y_{2211} - Y_{2222}) \end{equation}$

なぜならば，

\sum_{i = 1}^{2} A_{i} = 0

$\sum_{i=1}^{2}A_i = 0$ より，

A_{1} = - A_{2}

$A_1 = -A_2$ となることに注意して，

\begin{aligned} E [\frac{1}{8} (Y_{1111} + Y_{1122} + Y_{1212} + Y_{1221} - Y_{2112} - Y_{2121} - Y_{2211} - Y_{2222})] \\ = E [\frac{1}{8} {(A_{1} + B_{1} + C_{1} + D_{1}) + (A_{1} + B_{1} + C_{2} + D_{2}) + (A_{1} + B_{2} + C_{1} + D_{2}) + (A_{1} + B_{2} + C_{2} + D_{1}) \\ - (A_{2} + B_{1} + C_{1} + D_{2}) - (A_{2} + B_{1} + C_{2} + D_{1}) - (A_{2} + B_{2} + C_{1} + D_{1}) - (A_{2} + B_{2} + C_{2} + D_{2})}] \\ = E [\frac{1}{8} (4 A_{1} - 4 A_{2})] \\ = E [\frac{1}{8} (4 A_{1} + 4 A_{1})] \\ = A_{1} \end{aligned}

$\begin{align} &E\left[\frac{1}{8}(Y_{1111} + Y_{1122} + Y_{1212} + Y_{1221} - Y_{2112} - Y_{2121} - Y_{2211} - Y_{2222})\right] \\ &= E\left[\frac{1}{8}\{(A_1 + B_1 + C_1 + D_1) + (A_1 + B_1 + C_2 + D_2) + (A_1 + B_2 + C_1 + D_2) + (A_1 + B_2 + C_2 + D_1)\right. \\ &~~~~\left.- (A_2 + B_1 + C_1 + D_2) - (A_2 + B_1 + C_2 + D_1) - (A_2 + B_2 + C_1 + D_1) - (A_2 + B_2 + C_2 + D_2)\}\right] \\ &= E\left[\frac{1}{8}(4 A_1 - 4 A_2)\right] \\ &= E\left[\frac{1}{8}(4 A_1 + 4 A_1)\right] \\ &= A_1 \end{align}$

他の因子の効果によらずに，

A

$A$ の効果の大きさを不変推定できることがわかる．直交表は「主効果同士が交絡しない」という性質を持っている．

交互作用が存在するモデルに対する直交表の性質

2因子交互作用 $A \times B$ を持つ場合を考える．

Y_{i j k l} = μ + A_{i} + B_{j} + C_{j} + D_{l} + (A B)_{i j} + ε_{i j k l}

$\begin{equation} Y_{ijkl} = \mu + A_{i} + B_{j} + C_{j} + D_{l} + (AB)_{ij} + \varepsilon_{ijkl} \end{equation}$

\sum_{i = 1}^{2} A_{i} = \sum_{j = 1}^{2} B_{j} = \sum_{k = 1}^{2} C_{k} = \sum_{l = 1}^{2} D_{l} = 0

$\begin{equation} \sum_{i=1}^{2}A_{i} = \sum_{j=1}^{2}B_{j} = \sum_{k=1}^{2}C_{k} = \sum_{l=1}^{2}D_{l} = 0 \end{equation}$

\sum_{i = 1}^{2} (A B)_{i j} = \sum_{j = 1}^{2} (A B)_{i j} = 0

$\begin{equation} \sum_{i=1}^{2}(AB)_{ij} = \sum_{j=1}^{2}(AB)_{ij} = 0 \end{equation}$

L_{8}

$L_8$ 直交表において，列番号

1, 2, 4, 7

$1,2,4,7$ に因子

A, B, C, D

$A,B,C,D$ を割り付け，さらに，列番号3 に

A \times B

$A \times B$ を割り付けると，各主効果と交互作用

A \times B

$A \times B$ は交絡しない．

第6講 各種データ解析法

直交表

L8L_8 直交表

主効果モデルに対する直交表の性質

交互作用が存在するモデルに対する直交表の性質

第6講各種データ解析法

$L_8$ 直交表