第6講各種データ解析法

一元配置分散分析

対応のない場合

水準	$A_{1}$	$A_{2}$	$\cdots$	$A_{a}$
第1区画	$x_{11}$	$x_{21}$	$\cdots$	$x_{a1}$
第2区画	$x_{12}$	$x_{22}$	$\cdots$	$x_{a2}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\cdots$	$\vdots$
第r区画	$x_{1r}$	$x_{2r}$	$\cdots$	$x_{ar}$
予測値	$\bar{x}_1$	$\bar{x}_e$	$\cdots$	$\bar{x}_a$	総平均 $\bar{\bar{x}}$

対応のない場合では，単に $r$ 区画での実験を行ったと考えることができ，区画間での関連は考慮しない．

$H_{0}$ :: $\alpha_{1} = \alpha_{2} = \cdots = \alpha_{a} = 0$

モデル :

x_{i j} = μ + α_{i} + ϵ_{i j}

$\begin{equation} x_{ij} = \mu + \alpha_{i} + \epsilon_{ij} \end{equation}$

ただし，

\sum_{i = 1}^{a} α_{i} = 0

$\begin{equation} \sum_{i=1}^{a}\alpha_{i} = 0 \end{equation}$

ϵ_{i j} \sim N (0, σ)

$\begin{equation} \epsilon_{ij} \sim N(0,~\sigma) \end{equation}$

分散分解 :

\underset{総平方和 S_{T}}{\underset{⏟}{\sum_{i = 1}^{a} \sum_{j = 1}^{r} (x_{i j} - \bar{\bar{x}})^{2}}} = \underset{水準間平方和 S_{A}}{\underset{⏟}{r \sum_{i = 1}^{a} ({\bar{x}}_{i} - \bar{\bar{x}})^{2}}} + \underset{残差平方和 S_{e}}{\underset{⏟}{\sum_{i = 1}^{a} \sum_{j = 1}^{r} (x_{i j} - {\bar{x}}_{i})^{2}}}

$\begin{equation} \underbrace{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{r}(x_{ij}-\bar{\bar{x}})^{2}}_{\text{総平方和$S_{T}$}} = \underbrace{r\sum_{i=1}^{a}(\bar{x}_{i} - \bar{\bar{x}})^{2}}_{\text{水準間平方和$S_{A}$}}+\underbrace{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{r}(x_{ij}-\bar{x}_i)^{2}}_{\text{残差平方和$S_{e}$}} \end{equation}$

要因	平方和	自由度	平均変動	分散比
$A$	$S_{A}$	$\phi_{A} = a-1$	$\ds V_{A}=\frac{S_{A}}{\phi_{A}}$	$\ds F=\frac{V_{A}}{V_{e}}$
$e$	$S_{e}$	$\phi_{e} = ar-a$	$\ds V_{e}=\frac{S_{e}}{\phi_{e}}$
合計	$S_{T}$	$\phi_{T} = ar-1$

自由度の計算は，分散を計算するのに用いたデータ数と平均の数を確認すると想像しやすい．

対応のある場合

水準	$A_{1}$	$A_{2}$	$\cdots$	$A_{a}$	平均値
第1区画	$x_{11}$	$x_{21}$	$\cdots$	$x_{a1}$	$\bar{x}_{\cdot 1}$
第2区画	$x_{12}$	$x_{22}$	$\cdots$	$x_{a2}$	$\bar{x}_{\cdot 2}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\cdots$	$\vdots$	$\vdots$
第r区画	$x_{1r}$	$x_{2r}$	$\cdots$	$x_{ar}$	$\bar{x}_{\cdot r}$
平均値	$\bar{x}_{1 \cdot}$	$\bar{x}_{2 \cdot}$	$\cdots$	$\bar{x}_{a \cdot}$	総平均 $\bar{\bar{x}}$

対応のある場合では，1つの区画で同じ個体に対し，水準を変えて実験を行っていくことから，区画自体もブロック因子という水準として考慮する必要がある．

$H_{0}$ :: $\alpha_{1} = \alpha_{2} = \cdots = \alpha_{a} = 0$

モデル :

x_{i j} = μ + α_{i} + β_{j} + ϵ_{i j}

$\begin{equation} x_{ij} = \mu + \alpha_{i} + \beta_{j} + \epsilon_{ij} \end{equation}$

ただし，

\sum_{i = 1}^{a} α_{i} = 0, \sum_{j = 1}^{b} β_{j} = 0

$\begin{equation} \sum_{i=1}^{a}\alpha_{i} = 0,~~~~\sum_{j=1}^{b}\beta_{j} = 0 \end{equation}$

ϵ_{i j} \sim N (0, σ)

$\begin{equation} \epsilon_{ij} \sim N(0,~\sigma) \end{equation}$

分散分解 :

\underset{総平方和 S_{T}}{\underset{⏟}{\sum_{i = 1}^{a} \sum_{j = 1}^{r} (x_{i j} - \bar{\bar{x}})^{2}}} = \underset{水準間平方和 S_{A}}{\underset{⏟}{r \sum_{i = 1}^{a} ({\bar{x}}_{i \cdot} - \bar{\bar{x}})^{2}}} + \underset{ブロック間平方和 S_{B}}{\underset{⏟}{a \sum_{j = 1}^{r} ({\bar{x}}_{\cdot j} - \bar{\bar{x}})^{2}}} + \underset{残差平方和 S_{e}}{\underset{⏟}{\sum_{i = 1}^{a} \sum_{j = 1}^{r} (x_{i j} - {\bar{x}}_{i \cdot} - {\bar{x}}_{\cdot j} + \bar{\bar{x}})^{2}}}

$\begin{equation} \underbrace{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{r}(x_{ij}-\bar{\bar{x}})^{2}}_{\text{総平方和$S_{T}$}} = \underbrace{r\sum_{i=1}^{a}(\bar{x}_{i \cdot} - \bar{\bar{x}})^{2}}_{\text{水準間平方和$S_{A}$}} + \underbrace{a\sum_{j=1}^{r}(\bar{x}_{\cdot j} - \bar{\bar{x}})^{2}}_{\text{ブロック間平方和$S_{B}$}} +\underbrace{\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{r}(x_{ij}-\bar{x}_{i \cdot}-\bar{x}_{\cdot j}+\bar{\bar{x}})^{2}}_{\text{残差平方和$S_{e}$}} \end{equation}$

要因	平方和	自由度	平均変動	分散比
$A$	$S_{A}$	$\phi_{A} = a-1$	$\ds V_{A}=\frac{S_{A}}{\phi_{A}}$	$\ds F_{A}=\frac{V_{A}}{V_{e}}$
$B$	$S_{B}$	$\phi_{B} = b-1$	$\ds V_{B}=\frac{S_{B}}{\phi_{B}}$
$e$	$S_{e}$	$\phi_{e} = ab-a-b+1$	$\ds V_{e}=\frac{S_{e}}{\phi_{e}}$
合計	$S_{T}$	$\phi_{T} = ab-1$

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一元配置分散分析

対応のない場合

対応のある場合

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