第6講各種データ解析法

$a \times b$ 分割表

次のような観測値が得られたとする．

水準	$B_{1}$	$\cdots$	$B_{b}$	合計 $T_{i \cdot}$
$A_{1}$	$x_{11}$	$\cdots$	$x_{1b}$	$T_{1\cdot}$
$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$	$\vdots$
$A_{a}$	$x_{a1}$	$\cdots$	$x_{ab}$	$T_{a\cdot}$
合計 $T_{\cdot j}$	$T_{\cdot 1}$	$\cdots$	$T_{\cdot b}$	$T$

独立性の検定のためには，帰無仮説と確率を次のようにおく．

H_{0} : p_{i j} = p_{i \cdot} \times p_{\cdot j} (i =, 1 \dots, a, j = 1, \dots, b)

$\begin{equation} H_{0}~:~~p_{ij} = p_{i\cdot} \times p_{\cdot j}~~(i=,1\ldots,a,~~j=1,\ldots,b) \end{equation}$

水準	$B_{1}$	$\cdots$	$B_{b}$	合計 $p_{i\cdot}$
$A_{1}$	$p_{11}$	$\cdots$	$p_{1b}$	$p_{1\cdot}$
$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$	$\vdots$
$A_{a}$	$p_{a1}$	$\cdots$	$p_{ab}$	$p_{a\cdot}$
合計 $p_{\cdot j}$	$p_{\cdot 1}$	$\cdots$	$p_{\cdot b}$	1

帰無仮説の下で $(A_i,B_j)$ の期待度数は，

T_{i j} = \frac{T_{i \cdot} T_{\cdot j}}{T}

$\begin{equation} T_{ij}=\frac{\ds T_{i\cdot}T_{\cdot j}}{\ds T} \end{equation}$

水準	$B_{1}$	$\cdots$	$B_{b}$	合計 $T_{i\cdot}$
$A_{1}$	$t_{11}$	$\cdots$	$t_{1b}$	$T_{1\cdot}$
$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\vdots$	$\vdots$
$A_{a}$	$t_{a1}$	$\cdots$	$t_{ab}$	$T_{a\cdot}$
合計 $T_{\cdot j}$	$T_{\cdot 1}$	$\cdots$	$T_{\cdot b}$	$T$

$\chi^{2}$ 検定は，

χ^{2} = \sum_{i = 1}^{a} \sum_{j = 1}^{b} \frac{(x_{i j} - t_{i j})^{2}}{t_{i j}} \sim χ^{2} ((a - 1) (b - 1))

$\begin{equation} \chi^{2} = \sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\frac{(x_{ij}-t_{ij})^{2}}{t_{ij}} ~\sim~\chi^{2}((a-1)(b-1)) \end{equation}$