第4講統計的検定

十分統計量を用いた検定

十分統計量を $T$ ，任意の検定関数を $\delta(\bm{X})$ とする．ラオ･ブラックウェルの定理のように， $T$ を与えたときの $\delta(\bm{X})$ の条件付期待値を考える．

δ^{*} (T) = E [δ (X) ∣ T]

$\begin{equation} \delta^{*}(T) = E[\delta(\bm{X}) \mid T] \end{equation}$

T

$T$ は十分統計量なので，

δ^{*} (T)

$\delta^{*}(T)$ も統計量である．

δ (X) = 0 o r 1

$\delta(\bm{X}) = 0~\mathrm{or}~1$ なので，条件付期待値

δ^{*} (T)

$\delta^{*}(T)$ は，

0 \leq δ^{*} (T) \leq 1

$\begin{equation} 0 \le \delta^{*}(T) \le 1 \end{equation}$

である．ここで，

0 < δ^{*} (T) < 1 (δ^{*} (T) \neq 0, 1)

$0 < \delta^{*}(T) < 1~(\delta^{*}(T) \ne 0,~1)$ のときは，確率

δ^{*} (T)

$\delta^{*}(T)$ で

H_{0}

$H_0$ を棄却することにする．ここで，任意の

θ

$\theta$ に対して，

E [δ^{*} (T)] = E [E [δ (X) ∣ T)]] = E [δ (X)]

$\begin{equation} E[\delta^{*}(T)] = E\left[E[\delta(\bm{X}) \mid T)]\right] = E[\delta(\bm{X})] \end{equation}$

これは，任意の検定関数

δ (X)

$\delta(\bm{X})$ に対し，同等の十分統計量の検定関数

δ^{*} (T)

$\delta^{*}(T)$ が存在し，十分統計量のみを考えればよいことになる．