第4講統計的検定

検出力関数

$\varTheta$ を母数空間とし，

Θ_{0} \subset Θ

$\begin{equation} \varTheta_0 \subset \varTheta \end{equation}$

Θ_{1} \subset Θ

$\begin{equation} \varTheta_1 \subset \varTheta \end{equation}$

とする．ただし，

Θ = Θ_{0} \cup Θ_{1}

$\begin{equation} \varTheta = \varTheta_0 \cup \varTheta_1 \end{equation}$

Θ_{0} \cap Θ_{1} = ϕ

$\begin{equation} \varTheta_0 \cap \varTheta_1 = \phi \end{equation}$

ことのき，次の仮説を考える．

H_{0} : θ \in Θ_{0}

$\begin{equation} H_0~:~\theta \in \varTheta_0 \end{equation}$

H_{1} : θ \in Θ_{1}

$\begin{equation} H_1~:~\theta \in \varTheta_1 \end{equation}$

H_{0}

$H_0$ の棄却域を

R

$R$ とすると，第1種の誤りの確率

α

$\alpha$ は，

θ \in Θ_{0}, P (X \in R ∣ θ) = α

$\begin{equation} \theta \in \varTheta_0,~~P(\bm{X} \in R \mid \theta) = \alpha \end{equation}$

第2種の誤りの確率

β

$\beta$ は，

θ \in Θ_{1}, P (X \notin R ∣ θ) = β

$\begin{equation} \theta \in \varTheta_1,~~P(\bm{X} \notin R \mid \theta) = \beta \end{equation}$

である．

ここで，検出力関数 $\beta(\theta)$ を次のように定義する．

β (θ) = P (X \in R ∣ θ)

$\begin{equation} \beta(\theta) = P(\bm{X} \in R \mid \theta) \end{equation}$

このとき，

θ \in Θ_{0}

$\theta \in \varTheta_0$ に対し，

β (θ)

$\beta(\theta)$ は第1種の誤り．

θ \in Θ_{1}

$\theta \in \varTheta_1$ に対し，

1 - β (θ)

$1 - \beta(\theta)$ は第2種の誤り．