第1講確率と確率変数

マルコフの不等式

非負の値をとる確率変数 $X$ ， ${}^{\forall}a > 0$ に対し，

P (X \geq a) \leq \frac{E [X]}{a} (a > 0)

$\begin{equation} P(X \ge a) \le \frac{E[X]}{a}~~~~(a > 0) \end{equation}$

[証明]

\begin{aligned} E [X] & = \int_{0}^{\infty} x f (x) d x \\ \geq \int_{a}^{\infty} x f (x) d x \\ \geq \int_{a}^{\infty} a f (x) d x \\ = a \int_{a}^{\infty} f (x) d x \\ = a P (X \geq a) \end{aligned}

$\begin{align} E[X] &= \int_{0}^{\infty}x f(x)\,dx \\ &\ge \int_{a}^{\infty}x f(x)\,dx \\ &\ge \int_{a}^{\infty}a f(x)\,dx \\ &= a\,\int_{a}^{\infty}f(x)\,dx \\ &= a\,P(X \ge a) \end{align}$

よって，

P (X \geq a) \leq \frac{E [X]}{a}

$\begin{equation} P(X \ge a) \le \frac{E[X]}{a} \end{equation}$

第1講 確率と確率変数

マルコフの不等式

第1講確率と確率変数